选修1-1《3.1双曲线及其标准方程》优质课教案下载

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（1）预习与引入过程

预习教科书56页至60页，当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截面与圆锥的轴线或平行时，截口曲线是双曲线，待观察或操作了课件后，提出两个问题：第一、你能理解为什么此时的截口曲线是双曲线而不是两条抛物线；第二、你能举出现实生活中双曲线的例子．当学生把上述两个问题回答清楚后，要引导学生一起思考与探究P56页上的问题（同桌的两位同学准备无弹性的细绳子两条（一条约10cm长，另一条约6cm每条一端结一个套）和笔尖带小环的铅笔一枝，教师准备无弹性细绳子两条（一条约20cm，另一条约12cm，一端结个套，另一端是活动的），图钉两个）．当把绳子按同一方向穿入笔尖的环中，把绳子的另一端重合在一起，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是双曲线．启发性提问：在这一过程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件是什么？〖板书〗§2．2．1双曲线及其标准方程．

（2）新课讲授过程

（i）由上述探究过程容易得到双曲线的定义．

〖板书〗把平面内与两个定点 ， 的距离的差的绝对值等于常数（小于 ）的点的轨迹叫做双曲线（hyperbola）．其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距．即当动点设为 时，双曲线即为点集 ．

（ii）双曲线标准方程的推导过程

提问：已知椭圆的图形，是怎么样建立直角坐标系的？类比求椭圆标准方程的方法由学生来建立直角坐标系．

无理方程的化简过程仍是教学的难点，让学生实际掌握无理方程的两次移项、平方整理的数学活动过程．

类比椭圆：设参量 的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、 的关系有明显的几何意义．

类比：写出焦点在 轴上，中心在原点的双曲线的标准方程 ．

（iii）例题讲解、引申与补充

例1 已知双曲线两个焦点分别为 ， ，双曲线上一点 到 ， 距离差的绝对值等于 ，求双曲线的标准方程．

分析：由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求出 ．

补充：求下列动圆的圆心 的轨迹方程：① 与⊙ ： 内切，且过点 ；② 与⊙ ： 和⊙ ： 都外切；③ 与⊙ ： 外切，且与⊙ ： 内切．

解题剖析：这表面上看是圆与圆相切的问题，实际上是双曲线的定义问题．具体解：设动圆 的半径为 ．

① ∵⊙ 与⊙ 内切，点 在⊙ 外，∴ ， ，因此有 ，∴点 的轨迹是以 、 为焦点的双曲线的左支，即 的轨迹方程是 ；

② ∵⊙ 与⊙ 、⊙ 均外切，∴ ， ，因此有 ，∴点 的轨迹是以 、 为焦点的双曲线的上支，∴ 的轨迹方程是 ；

③ ∵ 与 外切，且 与 内切，∴ ， ，因此 ，∴点 的轨迹是以 、 为焦点的双曲线的右支，∴ 的轨迹方程是 ．

例2 已知 ， 两地相距 ，在 地听到炮弹爆炸声比在 地晚 ，且声速为 ，求炮弹爆炸点的轨迹方程．

分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及 ， 两地听到爆炸声的时间差，即可知 ， 两地与爆炸点的距离差为定值．由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程．

扩展：某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告：正西、正北两个观察点同时听到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚 ．已知各观察点到该中心的距离都是 ．试确定该巨响发生的位置（假定当时声音传播的速度为 ；相关点均在同一平面内）．

解法剖析：因正西、正北同时听到巨响，则巨响应发生在西北方向或东南方向，以因正东比正西晚 ，则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上．

如图，以接报中心为原点 ，正东、正北方向分别为 轴、 轴方向，建立直角坐标系，设 、 、 分别是西、东、北观察点，则 ， ， ．

设 为巨响发生点，∵ 、 同时听到巨响，∴ 所在直线为 ……①，又因 点比 点晚 听到巨响声，∴ ．由双曲线定义知， ， ，∴ ，∴ 点在双曲线方程为 ……②．联立①、②求出 点坐标为 ．即巨响在正西北方向 处．

探究：如图，设 ， 的坐标分别为 ， ．直线 ， 相交于点 ，且它们的斜率之积为 ，求点 的轨迹方程，并与§2．1．例3比较，有什么发现？