选修2-1《5.3直线与平面的夹角》集体备课教案设计

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1.用两种方法解决直线与平面的夹角问题。

知识梳理

1．空间向量与空间角

(1)直线间的夹角

①当两条直线l1与l2共面时，我们把两条直线夹角中不超过90°的角叫做两直线的夹角．

②当直线l1与l2是异面直线时，在直线l1上任取一点A作AB∥l2，我们把直线l1和直线AB的夹角叫做异面直线l1与l2的夹角．其夹角θ∈ eq ﹨b﹨lc﹨(﹨rc﹨](﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(0，﹨f(π,2))) .

③已知直线l1与l2的方向向量分别为s1，s2.

当〈s1，s2〉≤ eq ﹨f(π,2) 时，直线l1与l2的夹角等于〈s1，s2〉；

当 eq ﹨f(π,2) ＜〈s1，s2〉≤π时，直线l1与l2的夹角等于π－〈s1，s2〉．

(2)平面间的夹角

①两个平面所成的二面角的平面角的大小就是这两个平面的夹角．其夹角θ∈[0，π]．

②平面π1和π2的法向量为n1和n2，θ＝∠MRN为两个平面二面角的平面角，它由〈n1，n2〉确定．

当〈n1，n2〉≤ eq ﹨f(π,2) 时，θ＝〈n1，n2〉；

当 eq ﹨f(π,2) ＜〈n1，n2〉≤π时，θ＝π－〈n1，n2〉．

(3)直线与平面的夹角

①平面外一条直线与它在平面内投影的夹角叫做该直线与此平面的夹角．其夹角θ∈ eq ﹨b﹨lc﹨[﹨rc﹨](﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(0，﹨f(π,2))) .

②已知直线的方向向量s与平面的法向量n，

当〈s，n〉≤ eq ﹨f(π,2) 时，则θ＝ eq ﹨f(π,2) －〈s，n〉；

当〈s，n〉＞ eq ﹨f(π,2) 时，则θ＝〈s，n〉－ eq ﹨f(π,2) .

2. 直线的方向向量与平面的法向量的确定

(1)直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称 eq ﹨o(AB,﹨s﹨up6(→)) 为直线l的方向向量，与 eq ﹨o(AB,﹨s﹨up6(→)) 平行的任意非零向量也是直线l的方向向量．

(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为 eq ﹨b﹨lc﹨{﹨rc﹨ (﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(n·a＝0，,n·b＝0.))

基础自测

1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．(　　)