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北师大2003课标版《复习题二》新课标教案优质课下载
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ） EMBED Equation.DSMT4 .
又 EMBED Equation.DSMT4 ，而 EMBED Equation.DSMT4 ，
所以 EMBED Equation.DSMT4 .
（II）如图，以 EMBED Equation.DSMT4 为坐标原点， EMBED Equation.DSMT4 的方向为 EMBED Equation.DSMT4 轴的正方向，建立空间直角坐标系 EMBED Equation.DSMT4 ，
则 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 .设 EMBED Equation.DSMT4 是平面 EMBED Equation.DSMT4 的法向量，则 EMBED Equation.DSMT4 ，即 EMBED Equation.DSMT4 ，
所以可以取 EMBED Equation.DSMT4 .设 EMBED Equation.DSMT4 是平面 EMBED Equation.DSMT4 的法向量，则 EMBED Equation.DSMT4 ，
即 EMBED Equation.DSMT4 ，
所以可以取 EMBED Equation.DSMT4 .于是 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 .
因此二面角 EMBED Equation.DSMT4 的正弦值是 EMBED Equation.DSMT4 .
考点：线面垂直的判定、二面角.
【名师点睛】证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②a∥b，a⊥α?b⊥α；③α∥β，a⊥α?a⊥β；④面面垂直的性质．线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．
求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．
2015年全国二卷理19．（本题满分12分）
如图，长方体 EMBED Equation.DSMT4 中, EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ，点 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 分别在 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 上， EMBED Equation.DSMT4 ．过点 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 的平面 EMBED Equation.DSMT4 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．
（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；
（Ⅱ）求直线 EMBED Equation.DSMT4 与平面 EMBED Equation.DSMT4 所成角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ） EMBED Equation.DSMT4 ．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由线面平行和面面平行的性质画平面 EMBED Equation.DSMT4 与长方体的面的交线；（Ⅱ）由交线围成的正方形 EMBED Equation.DSMT4 ，计算相关数据．以 EMBED Equation.DSMT4 为坐标原点， EMBED Equation.DSMT4 的方向为 EMBED Equation.DSMT4 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 EMBED Equation.DSMT4 ，并求平面 EMBED Equation.DSMT4 的法向量和直线 EMBED Equation.DSMT4 的方向向量，利用 EMBED Equation.DSMT4 求直线 EMBED Equation.DSMT4 与平面 EMBED Equation.DSMT4 所成角的正弦值．
试题解析：（Ⅰ）交线围成的正方形 EMBED Equation.DSMT4 如图：
（Ⅱ）作 EMBED Equation.DSMT4 ，垂足为 EMBED Equation.DSMT4 ，则 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ，因为 EMBED Equation.DSMT4 为正方形，所以 EMBED Equation.DSMT4 ．于是 EMBED Equation.DSMT4 ，所以 EMBED Equation.DSMT4 ．以 EMBED Equation.DSMT4 为坐标原点， EMBED Equation.DSMT4 的方向为 EMBED Equation.DSMT4 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 EMBED Equation.DSMT4 ，则 EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ．设 EMBED Equation.DSMT4 是平面 EMBED Equation.DSMT4 的法向量，则 EMBED Equation.DSMT4 即 EMBED Equation.DSMT4 所以可取 EMBED Equation.DSMT4 ．又 EMBED Equation.DSMT4 ，故 EMBED Equation.DSMT4 ．所以直线 EMBED Equation.DSMT4 与平面 EMBED Equation.DSMT4 所成角的正弦值为 EMBED Equation.DSMT4 ．
考点：1、直线和平面平行的性质；2、直线和平面所成的角．
2014年全国二卷理18. （本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；