选修2-1《4.1曲线与方程》优质课教案设计

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通过具体实例归纳出曲线与方程的定义，能够根据定义判断曲线与方程的关系，能够利用曲线与方程的等价关系解决一些简单问题；

能够从特殊到一般发现规律，数形结合研究曲线与方程的关系，体会事物间的等价辩证关系。

教学重点、难点

教学重点：曲线与方程的定义

教学难点：曲线与方程定义的理解

四、教学过程设计

(一)情景引入：

笛卡尔创立了坐标系，开启了解析几何的篇章，即用代数研究几何。在直角坐标平面内，点可以用坐标表示，那么曲线呢？点和它的坐标一一对应，那么，一般地，曲线和方程有一种什么关系呢？

(二)新知探究

问题1：回顾之前的学习，在直角坐标系下，我们是通过什么研究曲线与方程的关系？

曲线是由曲线上的点构成的，曲线上的每一点都对应唯一的坐标，而二元方程的解为一组有序实数对也可以用坐标表示，这样就可以通过判断曲线上点的坐标和方程的解的关系来找曲线与方程的关系。

问题2：一般地，给出一个曲线，我们总想得到它唯一对应的方程。满足怎样的条件，曲线和方程能够相互表示？

思考以下3个实例，并回答方程和曲线能否相互表示

(1)曲线C1：到两坐标轴相等的点的轨迹

方程：

(2)曲线C2：到原点距离为2且在x轴上方的部分

方程：

(3)曲线C3：平面内到两坐标轴的距离的乘积为1的点的轨迹

方程:

定义：

一般地，在平面直角坐标系中，如果某些曲线C(看作满足某种条件的集合或者轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：

(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；

(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，

那么，这条曲线叫作方程的曲线，这个方程叫作曲线的方程.

问题3：上述3个实例中哪些方程是曲线的方程？若不是应该如何修改曲条件，让其满足曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程？