《1.1导数与函数的单调性》优质课教案设计

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北师大版高中数学选修2-2第三章《导数的应用》的第一节课《导数与函数的单调性》的第一课时。

【教学背景】

（1）教材分析：教材首先给出了三个一次函数的例子，结合图像，回顾它们的单调性，通过比较导函数的值与函数单调性的关系，让学生初步领会导函数符号与函数单调性的关系。在此基础上又给出了两个指数函数、两个对数函数的例子，使学生对函数的单调性和导函数的正负之间的关系获得丰富的感性认识，在此基础上抽象概括出导函数的符号与函数的单调性之间的关系。通过例题的教学，让学生领会应用导数求函数的单调区间的方法和步骤，体会函数的单调性决定了函数图像的大致形状，让学生思考如何利用导数来画函数的简图。

（2）学情分析：

①学生的基础

学生在数学1已经学习了函数的单调性和简单基本初等函数的图像及其性质，之后在选修2-2第二章 变化率与导数第二节课学习了导函数的概念。本节课学生通过自主探索活动，对一些简单基本初等函数的单调性和导数正负的分析，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法——特殊到一般的思想、数形结合的思想、函数与方程的思想、算法的思想，使学生认识到导数的符号与函数单调性有着直接的关系。自主探究过程过渡自然，拉近了学生与研究问题的距离，有利于发挥学生思维的主动性，突破教学难点。所以对学生来说，学习本节课的难度不大。

②学生的能力

学生学过了画图的基本作图方法是描点法，首先求出几个点的坐标，然后将其逐个连接起来，就得到函数的图像。虽然用这样得到的图像比较粗糙，某些弯曲情形往往得不到准确地反映，但学生还是能够很好的借助函数图象利用数形结合思想解题。对解决数学问题有一定的能力，并产生不同的学习状态，通过教师启发式引导，学生可以自主探究完成本节课的学习。

③学生的心理认知

本节课要求学生的认知水平从形象向抽象、由特殊向一般过渡，思维能力不断提高，高二学生的自主意识、主动学习的愿望与能力都比高一增强了很多，学生富有激情、思维活跃，好奇心、好胜心、进取心都较强。而对学有余力的同学，推荐阅读高等数学相关书籍或单独辅导的方式进行。

④学法分析

本节课学生通过自主探索活动，学生对4个熟悉的简单基本初等函数的图像、导函数及其图像、导数的正负的处理和研究，尝试抽象概括单调性和导数正负关系，由4位分享人分享所得，一开始不要求学生一定和教材一致，只要意思明白就行。让学生验证自己刚才获得的感性认识，并且加深这种意识，让学生感受用导数符号与函数的单调性有着直接的关系。使学生对本节课的学习产生主动性，愿意继续研究下去，并能结合图像将感性认识上升到理性认识，解决本节课的难点---“怎样将导数与函数的单调性联系起来？”，最后找个学生整合总结，语言尽可能数学化，培养学生自我总结能力，以及善于总结和探索的良好的学习习惯。使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法——特殊到一般的思想、数形结合的思想、函数与方程的思想、算法的思想，使学生认识到导数的符号与函数单调性有着直接的关系。通过逐步上升的例题解决，学生会发现利用导数判断函数在给定区间的单调性比原来利用定义法判断单调性要简捷得多，解决的问题范围更大、更彻底，比如还可以求单调区间，可以形成固定的算法。要注意引导学生自主构建解决问题的算法，发展学生的算法思想；同时要注意从学生已有的知识出发，引导学生体会导数法的思想方法，以增强对使用导数这一工具的意义的认识。积极思考，在发现中得到学习的乐趣，有利于提高学生仔细观察问题，不断探究问题的能力，培养良好的习惯。

【教学目标】

1．知识与技能

①能利用导数判断函数的单调性，求不超过三次的多项式函数的单调区间；

②掌握求函数单调区间的方法和步骤；

③能由导数信息绘制函数的大致图像。

2．过程与方法

①通过利用导数研究函数的单调性问题的过程，总结求函数单调区间的一般步骤，认识到导数在研究函数性质中的作用。

②培养学生细心观察、认真分析、严密推导的良好思维习惯，让学生感知从具体到抽象，从一般到特殊，从感性到理性的认知过程。

3．情感、态度与价值观

通过用导数法研究函数单调性的教学过程，让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的学习习惯，体会从特殊到一般思想、数形结合思想，及不同数学知识之间的内在联系，认识数学是一个有机整体。

【重点与难点】

重点：掌握导函数的正负与函数的增减性的关系，会求不超过三次的多项式函数的单调区间。

难点：由基本初等函数的图像，抽象出导函数的符号与函数的单调性的关系。