《1.1数的概念的扩展》优质课教案设计

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数系的扩充过程体现了数学的发现和创造过程，同时也体现了数学发生、发展的客观需求。复数的引入实现了中学阶段数的概念的最后一次扩充。学生在问题情境中了解数系扩充的过程，体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程理论)在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。这部分内容的学习，有助于使学生理解复数的基本概念和感受数系扩充的数学文化，认识到数学发展既有来自外部的动力，也有来自数学内部的动力，从而形成正确的数学观；有助于发展学生的应用意识和创新能力。

（二）教学内容的地位与作用

数系的扩充和复数的概念这一节内容具有承上启下的作用。所谓承上，是指通过让学生回忆数系扩充的过程，使学生对数的概念有一个初步完整的认识，从而体会虚数引入的必要性和合理性；所谓启下，是指通过学生理解复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件，为后继学习相关复数理论奠定基础。本节课的教学要突出数系的扩充过程，不仅要使学生获得和理解概念，还要能登高远眺，置这部分内容于广阔的数学学科背景之中，深人挖掘其蕴含的育人功能，追求教学价值的最大化。

（三）学生情况分析

在学习本节内容之前，学生的意识中已有数的概念并能理解数集之间的包含关系；会在实数范围内解方程但是对数的生成发展的历史规律没有深刻的认识，也缺少严谨、深入的思维习惯。

二、教学目标设计

根据本节课的内容特点以及学生的认知水平，确定本节课的教学目标是：

(1)理解复数的概念，理解复数的代数表示，掌握复数相等的充要条件。

(2)在数系扩充过程中，体会类比推理的重要作用；同时经历数系扩充的过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用。

(3)感受虚数引入的必要性和合理性，体会矛盾转化实虚共存等辩证思想，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。

三、教学重难点设计

本节课是本章第一课时内容，复数的概念为学生学习复数的表示、复数的运算及后继知识奠定了坚实的基础，因此，复数的概念是本节课学习的重点。

像这样的方程没有实数解在学生心目中已成定论，负数不能开平方是学生固有的思维模武，而虚数单位i的引入会引起学生认知上的冲突，心理上的排斥，故虚数单位i的引入是学生学习的难点。同时由于学生对数系扩充的知识不熟悉，因此对了解从实数系扩充到复数系的过程有困难，由于理解复数是一对有序实数不习惯，因此对复数概念的理解也有一定困难。

四、教法分析

为了更好地突出教学重点，突破教学难点，完成教学目标。教师采用问题引导启发的教学方式，通过“创设情境、引入概念，问题引领、探究概念，合作交流、形成概念，内化提升、应用概念，归纳小结、升华概念”循序渐进地将问题逐步引向深入，从而完成本节课的教学目标。

通过设置问题串，让学生形成认知冲突，引领学生追溯历史，提炼数系扩充的原则，帮助学生合乎情理地建立新的认知结构让数学理论自然诞生在学生的思想中，教师仅起到“辅助”的作用。

五、教学过程设计

（一）创设情境，引入概念

情境：数学起源于对数的研究。在对数的研究中意大利数学家卡当遇到了这样一个问题：将10分成两部分，使其乘积为40。他按照自己的习惯，设其中一部分为x,列出方程x(10-x)=40,但求出的根令他大为不解。你知道这是为什么吗？

但卡当却运用自己的方法，写出了两个“数”，那就是

问题1：你认为能作为“数”吗？我们遇到了什么新的问题？

（二）问题引领，探究概念

教师：由于社会发展的需要，从自然数集到实数集经历了三次扩充，请看微课视频：

与此同时，数系的每次扩充，也是数学内部发展的需要。

问题2：如何解决数学发展过程中遇到数学运算的问题？