选修4-4坐标系与参数方程《极坐标系》优质课教案下载

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(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．

(2)极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．

2．点与极坐标的关系

一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点，特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R)．

如果规定ρ>0，0≤θ<2π，那么除极点外，平面内的点可用惟一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是惟一确定的．

图1－2－1

3．极坐标与直角坐标的互化

(1)互化背景：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图1－2－1所示．

(2)互化公式：设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：

点M直角坐标(x，y)极坐标(ρ，θ)互化公式 eq ﹨b﹨lc﹨{﹨rc﹨ (﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(x＝ρcos θ,y＝ρsin θ)) ρ2＝x2＋y2

tan θ＝ eq ﹨f(y,x) (x≠0)二．例题讲解

考向1　极坐标与直角坐标的互化(高频考点)

命题视角　极坐标与直角坐标的互化是历年高考重点．主要命题角度：(1)点的坐标互化；(2)曲线方程的互化．

例1.　(1)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A的极坐标为 eq ﹨b﹨lc﹨(﹨rc﹨)(﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(﹨r(2)，﹨f(π,4))) ，直线l的极坐标方程为ρcos eq ﹨b﹨lc﹨(﹨rc﹨)(﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(θ－﹨f(π,4))) ＝a，且点A在直线l上．求a的值及直线l的直角坐标方程；

(2)已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C，点P的极坐标为 eq ﹨b﹨lc﹨(﹨rc﹨)(﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(4，﹨f(π,3))) ，求|CP|.

[解]　(1)∵点A在直线l上，

∴把ρ＝ eq ﹨r(2) ，θ＝ eq ﹨f(π,4) 代入直线l方程应成立，

即 eq ﹨r(2) cos eq ﹨b﹨lc﹨(﹨rc﹨)(﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(﹨f(π,4)－﹨f(π,4))) ＝a，得a＝ eq ﹨r(2) .

∴直线l的方程可化为ρ eq ﹨b﹨lc﹨(﹨rc﹨)(﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(cos θcos ﹨f(π,4)＋sin θsin ﹨f(π,4))) ＝ eq ﹨r(2)

化简得ρcos θ＋ρsin θ＝2.

从而直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.

(2)由ρ＝4cos θ可得x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4，因此圆心C的直角坐标为(2,0)．

又点P的直角坐标为(2,2 eq ﹨r(3) )．

因此|CP|＝2 eq ﹨r(3) .