选修4-5不等式选讲《不等式的性质》优质课教案下载

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解含绝对值的不等式的基本思想是通过去掉绝对值符号，把含绝对值的不等式转化为一元一次不等式或一元二次不等式．去绝对值符号常见的方法有：

①根据绝对值的定义；

②分区间讨论(零点分段法)；

③图像法．

(2)绝对值三角不等式

①|a|的几何意义表示数轴上的点到原点的距离，|a－b|的几何意义表示数轴上两点间的距离；

②|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R，ab≥0时等号成立)；

③|a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a，b，c∈R，(a－b)(b－c)≥0时等号成立)；

④||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R，左边“＝”成立的条件是ab≤0，右边“＝”成立的条件是ab≥0)；

⑤||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|(a，b∈R，左边“＝”成立的条件是ab≥0，右边“＝”成立的条件是ab≤0)．

4．平均值不等式

(1)定理1：若a，b∈R，则a2＋b2≥2ab(当且仅当a＝b时取“＝”)．

(2)定理2：若a，b∈R＋，则≥(当且仅当a＝b时取“＝”)．

(3)定理3：若a，b，c∈R＋，则a3＋b3＋c3≥3abc(当且仅当a＝b＝c时取“＝”)．

(4)定理4：若a，b，c∈R＋，则≥(当且仅当a＝b＝c时取“＝”)．

(5)推论：若a1，a2，…，an∈R＋，则≥.当且仅当a1＝a2＝…＝an时取“＝”．

5．不等式的证明方法

(1)比较法．(2)分析法．(3)综合法．(4)反证法．(5)几何法．(6)放缩法．

类型一　绝对值不等式的解法

例1　解下列关于x的不等式．

(1)|x＋1|＞|x－3|；

(2)|x－2|－|2x＋5|＞2x.

解　(1)方法一　|x＋1|＞|x－3|，

两边平方得(x＋1)2＞(x－3)2，∴8x＞8，∴x＞1.

∴原不等式的解集为{x|x＞1}．