选修4-5不等式选讲《不等式的性质》优质课教案下载

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重点：应用不等式的基本性质推理判断命题的真假；代数证明，特别是反证法.

难点：灵活应用不等式的基本性质.

教学过程

一、引入：

不等关系是自然界中存在着的基本数学关系.《列子?汤问》中脍炙人口的“两小儿辩日”：“远者小而近者大”、“近者热而远者凉”，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢？”、“电灯挂在写字台上方怎样的高度最亮？”、“用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成一个无盖的盒子.要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决.而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的作用.

问题情境：甲现在比乙大，再过几年，甲仍然比乙大，它揭示了一个什么问题?

二、探究不等式的基本性质：

预学1：实数的运算性质与大小顺序的关系：

数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知：

上面的符号“”表示“等价于”，即可以互相推出.

得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差与0的大小即可.

例1： 比较x3－1与2x2－2x的大小．

变式训练1： 比较x2－x与x－2的大小;

预学2：探究不等式的基本性质：

由两个数大小关系的基本事实，可以推出不等式的一些基本性质.

①、如果a>b，那么bb.即

②、如果a>b，且b>c，那么a>c，即a>b，b>ca>c.

③、如果a>b，那么a+c>b+c.

④、如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac

⑤、如果a>b>0，那么(n∈N，且n≥2)

⑥、如果a>b>0，那么(n∈N，且n≥2).

通过语言可以加深理解上述基本性质.例如，性质④可以表述为：不等式两边同乘一个正数，不等号同向；不等式两边同乘一个负数，不等号反向.老师引导学生用自己的语言叙述上述各条性质，然后请同学们尝试证明以上不等式的基本性质.

三、思考

观察不等式的基本性质，并与等式的基本性质比较，你认为在研究不等式时，需要特别注意什么问题？

事实上，从上述基本性质可以发现，在研究不等式时，需要特别注意“符号问题”，即在作乘(除)法运算时，乘(除)数的符号会影响不等号的方向.