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选修4-5不等式选讲《含有绝对值的不等式》精品教案优质课下载
绝对值三角不等式能应用定理解决一些证明和求最值问题。
题型一 解绝对值不等式
【例1】设函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|.
(1)解不等式f(x)＞3；
(2)若f(x)＞a对x∈R恒成立，求实数a的取值范围.
【解析】(1)所以不等式f(x)＞3的解集为(－∞，0)∪(3，＋∞).
(2)因为f(x)＝ 所以f(x)min＝1.
因为f(x)＞a恒成立，所以a＜1，即实数a的取值范围是(－∞，1).
【变式训练1】设函数f(x)＝ eq ﹨r(|x＋1|＋|x－2|＋a) .
(1)当a＝－5时，求函数f(x)的定义域；
(2)若函数f(x)的定义域为R，试求a的取值范围.
【解析】(1)由题设知|x＋1|＋|x－2|－5≥0，如图，在同一坐标系中作出函数y＝|x＋1|＋|x－2|和y＝5的图象，知定义域为(－∞，－2]∪[3，＋∞).
(2)由题设知，当x∈R时，恒有|x＋1|＋|x－2|＋a≥0，即|x＋1|＋|x－2|≥－a，又由(1)知|x＋1|＋|x－2|≥3，所以－a≤3，即a≥－3.
题型二 绝对值三角不等式的应用
[例2] (1)求函数y＝|x－3|－|x＋1|的最大值和最小值．
(2)设a∈R，函数f(x)＝ax2＋x－a(－1≤x≤1)．若|a|≤1，求|f(x)|的最大值．
[思路点拨] 利用绝对值三角不等式或函数思想方法可求解．
[解] (1)法一：||x－3|－|x＋1||≤|(x－3)－(x＋1)|＝4，
∴－4≤|x－3|－|x＋1|≤4.∴ymax＝4，ymin＝－4.
法二：把函数看作分段函数．
y＝|x－3|－|x＋1|＝ eq ﹨b﹨lc﹨{﹨rc﹨ (﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(4，x<－1，,2－2x，－1≤x≤3，,－4，x>3.)) ∴－4≤y≤4.∴ymax＝4，ymin＝－4.
(2)|x|≤1，|a|≤1，
∴|f(x)|＝|a(x2－1)＋x|≤|a(x2－1)|＋|x|
＝|a||x2－1|＋|x|≤|x2－1|＋|x|
＝1－|x2|＋|x|＝－|x|2＋|x|＋1