《柯西不等式》集体备课教案设计

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教学难点：应用一般形式柯西不等式证明不等式。

教学过程：

一、复习引入：

定理1：（柯西不等式的代数形式）设均为实数，则

，其中等号当且仅当时成立。

定理2：（柯西不等式的向量形式）设，为平面上的两个向量，则，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。

名师点拨

简单形式的柯西不等式反映了4个实数之间的特定数量关系,不仅在排列形式上规律明显,具有简洁、对称的美感,而且在数学和物理中有重要作用.

(1)柯西不等式中等号成立的条件可以是.(　　)

(2)若a,b,c,d均为正实数,则≥ac+bd.(　　)

(3)若ai,bi(i=1,2,3)是实数,则()()≥(a1b2+a2b3+a3b1)2.(　　)

(4)若ai,bi(i=1,2,3)是实数,则()()<(a1b1+a2b2+a3b3)2.(　　)

二、讲授新课：

类似的，从空间向量的几何背景业能得到|α.β|≤|α|| β| .将空间向量的坐标代入，可得到这就是三维形式的柯西不等式.

对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？

定理3：（一般形式的柯西不等式）：设为大于1的自然数，（1，2，…，）为任意实数，则：

即

，其中等号当且仅当时成立（当时，约定，1，2，…，）。

【做一做】 若a,b,c,x,y,z∈R,且a2+b2+c2=4,x2+y2+z2=9,则ax+by+cz的取值范围是　　　　　.?

解析:由三维形式的柯西不等式可得(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2,即(ax+by+cz)2≤4×9=36,所以-6≤ax+by+cz≤6.

答案:[-6,6]

三、应用举例：

【例1】 已知a,b>0,θ为锐角,求证:(a+b)2≤ .

证明由柯西不等式可得

=(cos2θ+sin2θ)