必修1《阅读与思考集合中元素的个数》公开课教案下载

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分类讨论思想是一种重要的数学思想方法．其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度．

【考情考向分析】

1．在解某些数学问题时，我们常常会遇到这样一种情况：解到某一步之后，发现问题的发展是按照不同的方向进行的．当被研究的问题包含了多种情况时，就必须抓住主导问题发展方向的主要因素，在其变化范围内，根据问题的不同发展方向，划分为若干部分分别研究．其研究的基本方向是“分”，但分类解决问题之后，还必须把它们整合在一起，这种“合—分—合”的解决问题的思想，就是分类讨论法．分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法．

2．中学数学中可能引起分类讨论的因素：

(1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等．

(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{an}的前n项和公式等．

(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等．

(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等．

(5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等．

(6)由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用．

3.分类讨论的原则

分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”．用分类讨论的思维策略解数学问题的操作过程：明确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行讨论→归纳综合结论→检验分类是否完备(即分类对象彼此交集为空集，并集为全集)．做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分类不重复、不遗漏”的分析讨论．故分类讨论必须坚持以下原则：

(1)不重不漏．

(2)标准要统一，层次要分明．

(3)能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．

解分类问题的步骤

(1)确定分类讨论的对象：即对哪个变量或参数进行分类讨论．

(2)对所讨论的对象进行合理的分类．

(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决．

(4)归纳总结：将各类情况总结归纳.

4.简化分类讨论的策略:

(1)消去参数;(2)整体换元;(3)变更主元;(4)考虑反面;(5)整体变形;(6)数形结合;(7)缩小范围等.