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必修2《探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积》精品教案优质课下载
学习本节内容时学生已经进入高一下学期了，而且这部分学生也是基础较好的学生，他们思维敏捷、善于观察，养成了从多角度思考问题的好习惯，有较强的计算能力和逻辑推理能力。在将近一年的高中数学学习中，学生们已经基本形成了观察、猜想、推理、实验、证明、进而得出结论的数学思想方法与过程，有较强的动手操作能力，他们善于利用集体的智慧来解决问题。在本课的数学学习中，通过实物展示、动画演示、动手实验等一系列比较形象直观的过程，让学生们产生了浓厚的学习兴趣和探索欲望，激励他们主动分组讨论、合作探究，完成了由观察到猜想、由猜想到实验、由实验到推理、由推理到证明这一系列的过程。可以大大提高学生们的归纳推理能力和实践操作能力。学生们也在整个学习过程中进一步体会到割补法和等体积转化法及归纳推理的数学思想方法，这也为今后他们数学能力的提升奠定了基础。
教学目标：1.理解祖暅原理及祖暅原理及在柱体、锥体、球体体积推导中的应用
2.掌握求体积问题中常用的两种方法：割补法和等体积转化法
四.教学重点：祖暅原理及其在柱体、椎体和球体体积中的应用
五.教学难点： 1.锥体、球体体积的推导割
2.补法和等体积转化法
六.教学过程：
（一）祖暅原理
为了求一般柱体、锥体的体积，我们简要介绍一下祖暅（gèng）原理.
祖暅，字景烁，祖冲之之子，范阳郡蓟县（今河北省涞水县）人，南北朝时代的伟大科学家.祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，于5世纪末提出下面的体积计算原理：祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.“势”即是高，“幂”是面积.意思是，如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等.
祖暅原理：夹在两个平行平面之间的几何体，被平行于这两个屏幕的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.
如图1，夹在平行平面间的两个几何体（它们的形状可以不同），被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面（阴影部分）的面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等.
这个原理是非常浅显易懂的.例如，取一摞纸堆放在桌面上组成一个几何体（图2），将她改变一下形状，这个几何体形状发生了改变，得到了另一个几何体，但两个几何体的高度没有改变，每页纸的面积也没有改变，因而两个几何体的体积相等.利用这个原理和长方体体积公式，我们能够求出柱体、锥体、台体和球体的体积.
祖暅提出上面的原理，要比其他国家的数学家早一千多年.在欧洲直到17世纪，才有意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri.B，1598-1647）提出上述结论.
二、柱体与锥体的体积
下面我们用祖暅原理推导柱体和锥体的体积公式.
设有底面积都等于，高都等于的任意一个棱柱、一个圆柱和一个长方体，使他们的下底面在同一平面内（图3）.根据祖暅原理，可知它们的体积相等.由于长方体的体积等于它的底面积乘以高，于是我们得到柱体的体积公式
其中是柱体的底面积，是柱体的高.
设有底面积都等于，高都等于的两个锥体（例如一个棱锥和一个圆锥），使它们的地面在同一个平面内（图4）.根据祖暅原理，可推导出它们的体积相等.这就是说，等底面积等高的两个锥体的体积相等.
如图5，设三棱柱的底面积（即的面积）为，高（即点到平面的距离）为，则它的体积为.沿平面和平面，将这个三棱柱分割成3个三棱锥.其中三棱锥1、2的底面积相等（），高也相等（点到平面的距离）；三棱锥2、3也有相等的底面积（）和相等的高（点到平面的距离）.因此，这三个三棱锥的体积相等，每个三棱锥的体积是.
三棱锥（即三棱锥1）如果以为底，那么它的底面积是，高是，而它的体积是.这说明三棱锥的体积等于它的底面积乘以高的积的三分之一.
事实上，对于一个任意的锥体，设它的底面积为，高为，那么它的体积应等于一个底面积为，高为的三棱锥的体积，即这个锥体的体积为
这就是锥体的体积公式.
柱体和锥体是两种基本几何体，它们的体积公式有着广泛的应用.
课堂练习（一）：