《探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积》优质课教案设计

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理解祖暅原理的含义，理解利用祖暅原理计算几何体体积的方法。

过程与方法

（1）在发现祖暅原理的过程中，体会从“平面”到“空间”的类比、猜想、论证的数学思想方法；体会祖暅原理中由“面积都相等”推出“体积相等”的辩证法的思想；

（2）在推导棱柱体积公式的过程中，理解从特殊到一般，从一般到特殊的归纳演绎的数学思想方法是学习数学概念的基本方法；掌握棱柱、棱锥、球体的体积公式.

情感态度与价值观

通过恰时恰点的问题引入、引申，采用学生课前自主探究、课上合作探究、课下延伸探究的学习方式，培养学生问题意识，提高学生思维能力，孕育学生创新精神，激发学生探索、研究我国古代数学的热情，激发学生的民族自豪感，提高学生学习数学的兴趣.

三、教学的重难点

（1）柱体、锥体、球体的体积公式的探究；

（2）学生探究能力的培养.

四、教学过程

（一）课题引入

我们已经学习了空间几何体的概念以及表面积公式，那么如何求这些几何体的体积呢？播放微课小视频，介绍祖暅（gèng）原理.

祖暅原理：夹在两个平行平面之间的几何体，被平行于这两个屏幕的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.

如图1，夹在平行平面间的两个几何体（它们的形状可以不同），被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面（阴影部分）的面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等.

这个原理是非常浅显易懂的.例如，取一摞纸堆放在桌面上组成一个几何体（图2），将她改变一下形状，这个几何体形状发生了改变，得到了另一个几何体，但两个几何体的高度没有改变，每页纸的面积也没有改变，因而两个几何体的体积相等.利用这个原理和长方体体积公式，我们能够求出柱体、锥体、台体和球体的体积.

祖暅提出上面的原理，要比其他国家的数学家早一千多年.在欧洲直到17世纪，才有意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri.B，1598-1647）提出上述结论.

（二）新课讲授

下面我们用祖暅原理推导柱体和锥体的体积公式.

（1）柱体的体积

设有底面积都等于，高都等于的任意一个棱柱、一个圆柱和一个长方体，使他们的下底面在同一平面内（图3）.根据祖暅原理，可知它们的体积相等.由于长方体的体积等于它的底面积乘以高，于是我们得到柱体的体积公式，其中是柱体的底面积，是柱体的高.

（2）锥体的体积

设有底面积都等于，高都等于的两个锥体（例如一个棱锥和一个圆锥），使它们的地面在同一个平面内（图4）.根据祖暅原理，可推导出它们的体积相等.这就是说，等底面积等高的两个锥体的体积相等.

如图5，设三棱柱的底面积（即的面积）为，高（即点到平面的距离）为，则它的体积为.沿平面和平面，将这个三棱柱分割成3个三棱锥.其中三棱锥1、2的底面积相等（），高也相等（点到平面的距离）；三棱锥2、3也有相等的底面积（）和相等的高（点到平面的距离）.因此，这三个三棱锥的体积相等，每个三棱锥的体积是.

三棱锥（即三棱锥1）如果以为底，那么它的底面积是，高是，而它的体积是.这说明三棱锥的体积等于它的底面积乘以高的积的三分之一.

事实上，对于一个任意的锥体，设它的底面积为，高为，那么它的体积应等于一个底面积为，高为的三棱锥的体积，即这个锥体的体积为