《探究与发现魔术师的地毯》优质课教案下载

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在探究过程中增强学生学习数学的乐趣与动力.

3、让学生学会利用数学计算分析几何问题，理解数形结合的基本思想.

【教学重点】

建立适当的坐标系，分析解决几何问题

【教学难点】

如何将实际问题转化为数学问题

【教学内容】

一、问题介绍

一天，著名魔术大师秋先生拿了一块长和宽都是1.3米的地毯去找地毯匠敬师傅，要求把这块正方形地毯改成0.8米宽2.1米长的矩形．敬师傅对秋先生说：“你这位大名鼎鼎的魔术师，难道连小学算术都没有学过吗？边长1.3米的正方形面积为1.69平方米，而宽0.8米长2.1米的矩形面积只有1.68平方米，两者并不相等啊！除非裁去0.01平方米，不然没法做．”秋先生拿出他事先画好的两张设计图，对敬师傅说：“你先照这张图（图1.2）的尺寸把地毯裁成四块，然后照另一张图（图1.3）的样子把这四块拼在一起缝好就行了．魔术大师是从来不会错的，你放心做吧！”敬师傅照着做了，缝好一量，果真是宽0.8米长2.1米．魔术师拿着改好的地毯满意地走了，而敬师傅却还在纳闷儿：这是怎么回事呢？那0.01平方米的地毯到什么地方去了？

二、学生思考问题的解法

解法1：做模型（或做实验）的方法

通常的办法是根据他给的尺寸按某个比例（例如10：1）缩小，学生自己动手剪一剪、拼一拼，也就是做一具小模型，实际量一量，看看秘密藏在什么地方．这种做模型（或做实验）的方法，是科技工作者和工程技术人员通常采用的方法．这种方法要求操作和测量都非常精确，否则你就发现不了秘密．例如，按缩小后的尺寸，剪拼前后面积差应为1平方厘米，如果在你操作和测量过程中所产生的误差就已经大于1平方厘米了，那么你怎能发现那1平方厘米的面积差出在什么地方呢？

解法2: 建立数学模型分析

比较图1.2和图1.3将图1.2中的四块图形分别记为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ（图1.6），而将图1.3中相应的四块分别记为 ， ， ， （图1.7）．现在的问题是，图1.6中的四块能否拼得像图1.7那样“严丝合缝”、“不重不漏”？也就是说，图1.7中所标的各个尺寸是否全都准确无误？例如图1.7中的 为直角三角形 ，如果 时，点 是否恰好落在矩形 的对角线 上？同样，如果 时，点 是否恰好落在 上？让我们通过计算来回答这个问题．（提出一系列问题引导学生如何将这一实际问题转化为数学问题

如图1.8建立直角坐标系，以 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，单位长度表示0.1米，于是有（0，0），（0，21）， （8，21）， （8，0）， （0，13）， （5，13）， （3，8）， （8，8）．如何判断 和 是否恰好落在直线 上呢？一种办法是 ， 的坐标代入直线 的方程，看是否满足方程；另一种办法是分别计算的斜率，比较它们是否相等．下面用后一种方法进行讨论．

　　设线段的斜率为 ，则有,比较之，由得 ，即 的斜角大于 的斜角， 的斜角又大于 的斜角，可见 和 都不在对角线 上，它们分别落在 的两侧（图1.8）：又由　得，即．可知将图1.6中的四块图形按照图1.7拼接时，在矩形对角线附近重叠了一个小平行四边形（图1.8）．正是这一微小的重叠导致面积减少，减少的正是这个重叠的 平行四边形的面积．记（3，8）到对角线 的距离为 ，

　　 米，　 米，

　　米2．

　　通过以上分析引导学生如何理解敬师傅的疑惑？

把面积仅为0.01平方米的地毯拉成对角线长为 米（约2.247米）的极细长的平行四边形，在一个大矩形的对角线附近重叠了这么一点点，当然很难觉察出来，魔术大是由正是利用了这一点蒙混过去，然而这一障眼法却怎么也逃不过精细的数学计算这一“火眼金睛”．

三、拓展研究

（1）如果我们把上述分割正方形和构成矩形所涉及的四个数，从小到大排列起来，即

　　5，8，13，21，

　　这列数有什么规律呢？相邻两数之和，正好是紧跟着的第三个数．按照这个规律，5前面应该是（8－5＝）3，3前面应是（5－3＝）2，2前面应是（3－2＝）1，1前面应是（2－1＝）1，21后面应为（13＋21＝）34，34后面应为（21＋34＝）55，等等，于是得到数列