人教A版2003课标版《4.3.2空间两点间的距离公式》精品优质课教案设计

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学习过程

一、设计问题,创设情境

在房间(立体空间)内如何确定一个空间的物体所在位置?在学生思考讨论的基础上,教师明确:确定点在直线上,通过数轴需要一个数;确定点在平面内,通过平面直角坐标系需要两个数.那么,要确定点在空间内,应该需要几个数呢?

借助平面直角坐标系,我们就可以用坐标表示平面上任意一点的位置,那么空间的点如何表示呢?

二、学生探索,尝试解决

图1

借助平面直角坐标系,我们就可以用坐标表示平面上任意一点的位置,那么空间的点如何表示呢?

1.在初中,我们学过数轴,那么什么是数轴?决定数轴的因素有哪些?数轴上的点怎样表示?

2.在初中,我们学过平面直角坐标系,那么如何建立平面直角坐标系?决定平面直角坐标系的因素有哪些?平面直角坐标系上的点怎样表示?

3.我们是否可以建立一个坐标系,使空间中的任意一点都可用对应的有序实数组表示出来呢?

4.观察图1,体会空间直角坐标系该如何建立.

5.观察图2,建立了空间直角坐标系以后,空间中任意一点M如何用坐标表示呢?

三、信息交流,揭示规律

1.在平面直角坐标系的基础上,通过原点再增加一根　　　　,就成了空间直角坐标系.?

2.如无特别说明,本书建立的坐标系都是　　　　直角坐标系.?

3.空间直角坐标系像平面直角坐标系一样,有“三要素”:　　　　.?

图2

4.在平面上画空间直角坐标系Oxyz时,一般使∠xOy=∠xOz=135°,∠yOz=90°,且使y轴和z轴的单位长度相同,x轴上的单位长度为y轴(或z轴)的单位长度的一半,即用斜二测法画.

已知M为空间一点,过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴和z轴,它们与x轴、y轴和z轴的交点分别为P,Q,R,这三点在x轴、y轴和z轴上的坐标分别为x,y,z.于是空间的一点M就　　　　确定了一个有序数组x,y,z.这组数x,y,z就叫做点M的坐标,并依次称x,y,z为点M的　　　　.坐标为x,y,z的点M通常记为M(x,y,z).?

5.反过来,一个有序数组x,y,z,我们在x轴上取坐标为x的点P,在y轴上取坐标为y的点Q,在z轴上取坐标为z的点R,然后通过P,Q与R分别作　　　　的垂直平面.这三个垂直平面的交点M即为以有序数组x,y,z为坐标的点.数x,y,z就叫做点M的坐标,并依次称x,y和z为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标.(如图2所示)?

坐标为x,y,z的点M通常记为M(x,y,z).我们通过这样的方法在空间直角坐标系内建立了空间的点M和有序数组x,y,z之间的　　　　关系.?

注意:坐标面上和坐标轴上的点,其坐标各有一定的特征.

6.如果点M在yOz平面上,则　　　　;同样,zOx面上的点　　　　;　　　　面上的点,z=0;如果点M在x轴上,则　　　　;如果点M在y轴上,则　　　　;如果点M在　　　　轴上,则x=y=0;如果M是原点,则x=y=z=0.?

空间点的位置可以由空间直角坐标系中的三个坐标唯一确定,因此,常称我们生活的空间为“三度空间或三维空间”.事实上,我们的生活空间应该是四度空间,应加上时间变量t.即(x,y,z,t),它表示在时刻t所处的空间位置是(x,y,z).

7.你能用空间两点的坐标表示这两点间的距离吗?类比平面两点间距离公式的推导,猜想空间两点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)间的距离公式　　　　.?