人教A版2003课标版《4.3.2空间两点间的距离公式》集体备课教案设计

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教学难点:一般情况下,空间两点间的距离公式的推导.

教学准备：多媒体课件

教学过程：

我们知道,数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值,即d=|x1-x2|；平面直角坐标系中,两点之间的距离是d= .同学们想,在空间直角坐标系中,两点之间的距离应怎样计算呢？又有什么样的公式呢？因此我们学习空间两点间的 距离公式.

提出问题

1.数轴上两点间的距离公式是什么？

2.在平面直角坐标系中两点间的距离公式是什么？

在空间直角坐标系中，若已知两点坐标，则这两点的距离是唯一确定的，我们希望有一个求两点间距离的计算公式，对此我们从理论上来探究。

活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,大胆猜想,发散思维.①学生回忆学过的数学知识,回想当时的推导过程；②解决这一问题,可以采取转化的方法,转化成我们学习的立体几何知识来解；③首先考虑问题的实际意义,直接度量,显然是不可以的,我们可以转化为立体几何的方法,也就是求长方体的对角线长.④回顾平面直角坐标系中,两点之间的距离公式,可类比猜想相应的公式；⑤学生回忆刚刚学过的知识,大胆类比和猜想;⑥利用③的道理,结合空间直角坐标系和立体几何知识,进行推导.

讨论结果：①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d= ,它是利用直角三角形和勾股定理来 推导的.

图1

②如图1,设A(x,y,z)是空间任意一点,过A作AB⊥xOy平面,垂足为B,过B分别作BD⊥x轴,BE⊥y轴,垂足分别为D,E.根据坐标的含义知,AB=z,BD=x,BE=OD=y,由于三角形ABO、BOD是直角三角形,所以BO2=BD2+OD2,AO2=AB2+BO2=AB2+BD2+OD2=z2+x2+y2,因此A到原点的距离是d= .

③ 利用求长方体的对角线长的方法,分别量出这块砖的三条棱长,然后根据对角线长的平方等于三条边长的平方的和来算.

④由于平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d= ,是同名坐标的差的平方的和再开方,所以我们猜想,空间两点之间的 距离公式是d= ,即在原来的基础上,加上纵坐标差的平方.

⑤平面直角坐标系中的方程x2+y2=r2表示以原点为圆心,r为半径的圆;在空间x2+y2+z2=r2表示以原点为球心,r为半径的球面;后者正是前者的推广.

图2

⑥如图2,设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点,我们来计算这两点之间的距离.

我们分别过P1P2作xOy平面的垂线,垂足是M,N,则M(x1,y1,0),N(x2,y2,0),于是可以求出|MN|= .

再过点P1作P1H⊥P2N,垂足为H,则|MP1|=|z1|,|NP2|=|z2|,所以|HP2|=|z2-z1|.

在Rt△P1HP2中,|P1H|=|MN|= ,根据勾股定理,得|P1P2|= = .因此空间中点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)之间的距离为|P1P2|= .

于是空间两点之间的距离公式是d= .它是同名坐标的差的平方的和的算术平方根.

应用示例：

例1 求证以M1(4,3,1)、M2(7,1,2)、M3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.

活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路

例2. 在z轴上求与两点A(?4, 1, 7)和B(3, 5, ?2)等距离的点．因此,到A,B两点的距离相等的点P(x,y,z) 的坐标满足的条件是4x+6y-8z+7=0.