必修2《4.3.2空间两点间的距离公式》集体备课教案设计

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3、通过探索空间两点间的距离公式，体会转化（降维）的数学思想。

二、教学重点和难点

探索和推导空间两点间的距离公式

三、教学过程设计

1、提出问题

请大家来看一下这道题目。

如图，正方体棱长为1，．求的长．

设问（1）怎么求这两点距离呢？

学生练习1分钟左右，教师巡视。发现有的同学构造了一个直角三角形，却发现计算很繁；有的同学还没能构造出直角三角形。我们知道平面上求两点间距离有公式，

（2）那么空间两点间距离是否也有公式？

我们先请一个同学来回答一下平面两点间距离公式。

学生回答。这是我们在平面直角坐标系中得到的平面两点的距离公式。那么对于空间两点距离，我们也可以放在空间直角坐标系中研究。

2、猜想公式

（3）如已知这两点的距离是多少呢？

学生根据平面两点距离公式，猜想空间两点距离。接下来请同学们自己动手尝试证明这个猜想。

3、证明公式

学生动手尝试，教师巡视，搜集学生的证法。挑选有代表的证明方法拍照投影到屏幕上。并请那些同学来回答自己的想法。并借助于长方体来说明，学生所画的那些情况相当于长方体的哪些位置。帮助学生理解，使抽象问题变直观、具体。

学生所画的图最有可能的情况

（1）P、Q两点在YOZ平面内，转化为平面两点距离，过点P、Q作Y轴的垂线，构造直角三角形解决。

（2）点P在上底面，点Q在侧面。过点P、Q分别作XOY平面的垂线，垂足分别为M、N,连接MN。在直角梯形PQMN中，过Q作PN的垂线，垂直为H。在RT△PHQ中计算。空间问题转化为平面问题。

说明：

1、公式对特殊图形也成立。如这两点连线平行于坐标平面。

2、还可以在YOZ平面和XOZ平面内作P、Q两点的射影。

类比平面内两点间距离公式的推导过程，关键：作射影。平面内：

过点向轴作射影，构造直角三角形利用勾股定理解决。空间内：过点向面作射影，构造直角三角形利用勾股定理求解。