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《3.1.1两角差的余弦公式》教案优质课下载
教学重难点
重点：通过探索得到两角差的余弦公式
难点：探索过程的组织和适当引导
教学过程
情景引入
变换是数学的重要工具
1.在初中我们已经学过代数的变换( 如数、式、方程和不等式的恒等变换)；
2.在本册数学4的第一章也学习过同角三角函数式的恒等变换（如平方关系，商数关系等）.
二、课堂探究（一）：若 为两个任意角,
则 成立吗?
因此,对角一般不成立.
课堂探究（二）：要获得 的表达式，需要哪些已学过的知识？
涉及 三角的余弦值，可以考虑联系单位圆上的三角函数线或向量的知识.
如图1，设角α的终边与单位圆的交点为P1，∠POP1＝β，则∠POx＝α－β.过点P作PM垂直于x轴，垂足为M，那么OM就是角α－β的余弦线，即OM＝cos(α－β)，这里就是要用角α、β的正弦线、余弦线来表示OM.过点P作PA垂直于OP1，垂足为A，过点A作AB垂直于x轴，垂足为B，过点P作PC垂直于AB，垂足为C.那么，OA表示cosβ，AP表示sinβ，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α.于是，OM＝OB＋BM＝OB＋CP＝OAcosα＋APsinα＝cosβcosα＋sinβsinα.所以，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.
图1
教师引导学生进一步思考，以上的推理过程中，角α、β、α－β是有条件限制的，即α、β、α－β均为锐角，且α>β，如果要说明此结果是否对任意角α、β都成立，还要做不少推广工作，并且这项推广工作的过程比较繁琐，由同学们课后动手试一试．
问题③，教师引导学生，可否利用刚学过的向量知识来探究这个问题呢？如图2，在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox为始边作角α、β，它们的终边与单位圆O的交点分别为A、B，则＝(cosα，sinα)，＝(cosβ，sinβ)，∠AOB＝α－β.
图2
由向量数量积的定义有·＝||||·cos(α－β)＝cos(α－β)，
由向量数量积的坐标表示有
·＝(cosα，sinα)(cosβ，sinβ)＝cosαcosβ＋sinαsinβ，
于是，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ.
我们发现，运用向量工具进行探究推导，过程相当简洁，但在向量数量积的概念中，角α－β必须符合条件0≤α－β≤π，以上结论才正确，由于α、β都是任意角，α－β也是任意角，因此就是研究当α－β是任意角时，以上公式是否正确的问题．当α－β是任意角时，由诱导公式，总可以找到一个角θ∈[0,2π)，使cosθ＝cos(α－β)，若θ∈[0，π]，则·＝cosθ＝cos(α－β)．若θ∈[π，2π]，则2π－θ∈[0，π]，且·＝cos(2π－θ)＝cosθ＝cos(α－β)．
由此可知，对于任意角α、β都有
此公式给出了任意角α、β的正弦、余弦值与其差角α－β的余弦值之间的关系，称为差角的余弦公式，简记为C(α－β)．有了公式C(α－β)以后，我们只要知道cosα、cosβ、sinα、sinβ的值，就可以求得cos(α－β)的值了．