《1.4.3正切函数的性质与图象》优质课教案设计

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1.会用单位圆内的正切线画正切曲线，并根据正切函数图象掌握正切函数的性质，用数形结合的思想理解和处理问题。

2.首先学生自主绘图，通过投影仪纠正图像，投影完整的正确图象，然后再让学生观察，类比正弦，探索知识。

3.在得到正切函数图像的过程中，学会一类周期性函数的研究方式，通过自己动手得到图像让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。

三、教学重点与难点

教学重点：正切函数的图象及其主要性质。

教学难点：利用正切线画出函数y=tanx的图象，对直线x= ， 是y=tanx的渐近线的理解，对单调性这个性质的理解。

四、课时安排

1个课时

五、教学过程设计

提出问题

问题1: 函数y=tanx 的定义域是什么？

根据正切函数的定义tanα= ,显然,当角α的终边落在y轴上任意一点时,都有x=0,这时正切函数是没有意义的；又因为终边落在y轴上的所有角可表示为kπ+ ,k∈Z,所以正切函数的定义域是{α|α≠kπ+ ,k∈Z},而不是{α≠ +2kπ,k∈Z},这个问题不少初学者很不理解,在解题时又很容易出错,教师应提醒学生注意这点,深刻明了其内涵本质.

问题2: 函数y=tanx 是否是周期函数？

由诱导公式tan(x+π)=tanx,x∈R,x≠ +kπ,k∈Z可知,正切函数是周期函数,周期是π.

这里可通过多媒体课件演示,让学生观察由角的变化引起正切线的变化的周期性,直观理解正切函数的周期性,后面的正切函数图象作出以后,还可从图象上观察正切函数的这一周期性.

（设计意图：根据正切函数的定义及诱导公式，进一步了解正切函数的定义域及周期为画出正切函数图像作准备）

问题3: 如何画出正切函数y=tanx在( , )的图像？

（设计意图：点明本节内容，引导学生思考问题）

探讨新知：我们是如何作出正弦函数图象呢？

①通过多媒体课件演示，用平移正弦线描点连线得y=sinx x∈[0,2π]图象, 再利用周期性把该段图像向左右延伸得到正弦函数y=sinx x∈R图像.

（设计意图：由多媒体课件演示正弦函数作国图的全过程，通过类比方法引入正切函数的图像）

问题②,教师引导学生作出正切线,并观察它的变化规律,如图1.

图1

由多媒体课件演示正切线的变化规律,从正切线知,当x大于 且无限接近 时,正切线AT向Oy轴的负方向无限延伸;当x小于 且无限接近 时,正切线AT向Oy轴的正方向无限延伸.因此,tanx在( , )内可以取任意实数,但没有最大值、最小值.因此,正切函数的值域是实数集R.

问题③,如何得到正切函数y=tanx,x∈R,且x≠ +kπ(k∈Z)的图象？