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a2+b2≥2ab(a,b∈R)

3.用极值定理来求函数最值的思想

已知x,y∈R+，则

（1）若x+y=S（和为定值），则当x=y时，积xy取得最大值 EMBED Equation.3 ;

（2）若x·y=P（积为定值），则当x=y时，和x+y取得最小值2 EMBED Equation.3 .

知识导学

基本不等式又叫均值不等式，利用基本不等式解题时，要注意创设应用基本不等式的条件，常用的解题技巧是合理拆分项或配凑因式，而拆、凑的目的在于满足应用“和为定值或积为定值”，在应用时必须注意“一正、二定、三相等”，而往往我们只关心前两点，却忽视了等号成立的条件，导致错误出现.对于极值定理，可按口诀“和定积最大，积定和最小”记忆.

疑难突破

1.基本不等式是求最值的一个重要方法,但是必须满足某种条件才能使用均值不等式求最值,那么满足什么条件才能使用基本不等式求最值?

剖析：利用均值不等式求最值必须满足三个条件才可以进行,即“一正、二定、三相等”.

“一正”：即所求最值的各项必须都是正值，否则就容易得出错误的答案.

“二定”：即含变量的各项的和或者积必须是常数

要求a+b的最小值，ab必须是定值.求ab的最大值,a+b必须是定值.

“三相等”：具备不等式中等号成立的条件，使函数取得最大值或者最小值.

2.在利用基本不等式求最值时,凑定值是很重要的一步,但是很多时候都是因为取不到定值而苦恼,那么,在求最值时有哪些技巧可以使用?

剖析：利用基本不等式求最值常常需要对函数进行适当的变形.在变形过程中常要用到某些特定的技巧，主要有下面几种:

(1)将所得出的正函数平方，然后再使用基本不等式求解.有时候直接带有根号的定值不容易看出来,可以先平方再找最值,得出结果开方即可.但是要注意平方前后的正负问题;

(2)有些和（积）不为常数的函数求最值时，可通过引入参数后，再使用基本不等式求解.主要是一些比较复杂的式子,使用一个参数作一个整体代换可以使整个式子更加简洁,也更容易得出定值;

(3)有些函数在求最值时，需要几次使用基本不等式进行放缩才能达到目的.放缩时要保证几个等号能同时成立;

(4)有时候使用基本不等式的变形,要根据题目的特点，选用合适的公式.例如ab≤( EMBED Equation.3 )2、 EMBED Equation.3 ≥( EMBED Equation.3 )2等.

典题精讲

含有一个未知数

例1（1）若函数f(x)=x+9/x-5，当x>5时，求函数的最小值

x<5

（2）已知0＜x＜ EMBED Equation.3 ，求函数y=x(1-3x)的最大值;