《2.2.1椭圆及其标准方程》集体备课教案设计

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教学重点：椭圆的标准方程；坐标法的基本思想。

教学难点：椭圆的标准方程的推导与化简；坐标法的运用。

教学任务分析：

学生已有的主要知识结构

学生已经学习过圆，了解圆的定义，经历了根据圆的特征，建立适当的坐标系，求圆的标准方程的过程。

建立新的知识结构

与圆类比，弄清椭圆上的点所满足的条件，建立适当的坐标系，求椭圆的标准方程。

教学基本流程：

教学过程：

问题设计意图师生活动备注1、回顾圆的定义。结合图形，重现思维轨迹，为椭圆的学习作好铺垫。1.由学生动手实验，并说出圆的定义；

画圆时，绳子一端固定在纸板上，一端栓在笔上学生再次体会笔尖到定点的距离不变的情景。2.将圆心分开变为两个，绳子两端固定在这两个定点上，用笔勾住绳子，将会画出什么样的曲线呢？提出新的问题，激发学生的好奇心，引发学习兴趣。1.师生一起画图，得到一个压扁的“圆”—椭圆；

2.教师演示课件：拱桥、橄榄球、天体的运动轨迹等。让学生领略到数学的美，认识到数学与生活息息相关。3.在运动中，椭圆上的点所满足的几何条件是什么？

4.应该如何描述动点M所满足的几何条件？1.弄清曲线上的点所满足的几何条件是建立曲线方程的关键之一。

2.让学生体会类比思想，整理实验，归纳抽象成数学问题。1.引导学生分析实验，发现两个确定的量—定点及绳长，变动的量—笔尖（即椭圆上的点）。

2.再次演示画椭圆的过程，引导学生发现规律：椭圆上的点到两个定点的距离之和总是等于绳长。这里应给予学生充分思考和讨论的机会，引导他们说出自己的发现，并逐步修正得到椭圆的定义。5.椭圆与两定点位置及定线段长有关，是否给定了线段长和两定点位置就一定能作出椭圆呢？加深对概念的理解师生共同探讨，并演示课件，展示2a>2c,2a=2c,2a<2c三种不同情形的轨迹。

学生：当2a>2c时，轨迹是椭圆;当2a=2c时，轨迹是一条线段，是以 为端点的线段;当2a<2c时，无轨迹;当c=0时，轨迹为圆.写出动点M所满足的几何条件的点的集合：P= M|| |+| |=2a 。

明确椭圆的定义：平面内与两个定点 的距离之和等于常数2a（2a大于| |）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。6.事实上椭圆在建筑、电子乃至航空航天等领域有着广泛的应用，因此，有必要进一步探求它的性质，研究它的方程。求曲线方程的步骤是什么？怎样建立适当的坐标系，求椭圆的方程呢？温旧知新，让学生认识到适当的坐标系有利于化简，也会使所得的方程比较简单。学生回答求曲线方程的步骤，教师引导学生讨论如何建立坐标系。通过分析曲线的特征—对称性，得出以线段 的中点为原点，以 的垂直平分线为y轴建立直角坐标系。事实上，椭圆的美主要体现在均匀对称上，应充分引导学生讨论、发现这一点。完成了“建系”，设M（x,y）是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c>0)，那么，焦点 的坐标分别是(-c,0),(c,0).又设点M与 的距离的和等于常数2a（2a>| |）。

由定义可知，椭圆就是集合P= M|| |+| |=2a 。

| |= ,| |= , + =2a.能否将上面所得等式两边同时平方？应该如何处理两个根号的位置更有利于化简？在学生已懂得一个根式化简的情况下，针对具体的问题，寻求解决问题的想法。 老师演示化简过程，顺便讲解组织学生评价演示情况，使学生明确若将上面等式直接平方，则化简过程繁杂且各项的次数很高；若将两个根式放在等式的两边，平方后可消去x2,y2,c2项简化计算，强调方法的选择。通过投影，将化简的过程呈现给学生。 教师：设| |=2c, | |+| |=2a，观察图形能否找出a,c， 所表示的线段及其关系呢？

结合图形，赋予a,c， 以具体的几何意义。（展示图形）学生：可以看出a,c是以 为底边的等腰三角形的腰及底边的一半。

教师：不妨令a2-c2=b2则方程可简化为b2x2+a2y2=a2b2,两边同时除以a2b2得 ，这就是焦点在x轴上椭圆的标准方程。这里a与b的关系如何？

学生：a>b>0.通过类比，让学生写出焦点在y轴上椭圆的标准方程，并根据方程分辨椭圆的焦点在x轴或y轴上。教师用总结性的语言引导学生对椭圆方程再认识：

椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，分母是一个正数，右边是1。

椭圆的三个参数a.b.c满足 。

椭圆标准方程中 的系数哪个小，焦点就在哪个轴上。1教材中例1.