选修2-1《习题2.3》集体备课教案设计

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1.双曲线的定义

平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：

(1)若a

(2)若a＝c时，则集合P为两条射线；

(3)若a>c时，则集合P为空集.

??椭圆 双曲线定 义MF1|+|MF2|=2a

?||MF1|－|MF2||=2a

|F1F2| <2a|F1F2| _>__ 2a当|F1F2|=2a时，动点的轨迹为：一条线段当|F1F2|=2a时，动点的轨迹为：两条射线当|F1F2|>2a时, 动点的轨迹为：不存在当|F1F2|<2a时, 动点的轨迹为：不存在

标准

方 程 ? ?a.b.c的关系a>b>0, a2= b2+ c2 a＞0，b＞0 ,c2 =a2＋b2

2.双曲线的标准方程和几何性质

标准方程 eq ﹨f(x2,a2) － eq ﹨f(y2,b2) ＝1

(a>0，b>0) eq ﹨f(y2,a2) － eq ﹨f(x2,b2) ＝1

(a>0，b>0)图　形 性　质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝± eq ﹨f(b,a) xy＝± eq ﹨f(a,b) x离心率e＝ eq ﹨f(c,a) ，e∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b2[常用结论与微点提醒]

1.过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为 eq ﹨f(2b2,a) .

2.离心率e＝ eq ﹨f(c,a) ＝ eq ﹨f(﹨r(a2＋b2),a) ＝ eq ﹨r(1＋﹨f(b2,a2)) .

3.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 eq ﹨r(2) .

诊 断 自 测

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.(　　)

(2)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.(　　)

(3)方程 eq ﹨f(x2,m) － eq ﹨f(y2,n) ＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.(　　)

(4)双曲线 eq ﹨f(x2,m2) － eq ﹨f(y2,n2) ＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是 eq ﹨f(x2,m2) － eq ﹨f(y2,n2) ＝0，即 eq ﹨f(x,m) ± eq ﹨f(y,n) ＝0.(　　)

解析　(1)因为||MF1|－|MF2||＝8＝|F1F2|，表示的轨迹为两条射线.

(2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.