人教A版2003课标版《3.2.1立体几何中的向量方法》优质课教案下载

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(2)线面垂直 l⊥α?a∥μ?a＝kμ?a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2.

(3)面面平行α∥β?μ∥v?μ＝λv?a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3.

(4)面面垂直α⊥β?μ⊥v?μ·v＝0?a2a3＋b2b3＋c2c3＝0.

2．直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算

设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．平面α、β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同)．

(1)线线夹角

设l，m的夹角为θ(0≤θ≤)，则cos θ＝＝.

(2)线面夹角

设直线l与平面α的夹角为θ(0≤θ≤)，则sin θ＝＝|cos〈a，μ〉|.

(3)面面夹角

设半平面α、β的夹角为θ(0≤θ≤π)，则|cos θ|＝＝|cos〈μ，v〉|.

提醒　求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角的补角，要注意从图中分析．

3．求空间距离

直线到平面的距离，两平行平面的距离均可转化为点到平面的距离，点P到平面α的距离：d＝(其中n为α的法向量，M为α内任一点).

热点一　线线角的求解

例1．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，

AB∥CD，BA⊥AD，PA⊥平面ABCD，AB＝AP＝AD＝3，CD＝6 ，

则直线PD与BC所成的角为________．

解析：以A为坐标原点，AD、AB、AP

所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建

立如图所示的空间直角坐标系，则A

(0,0,0)，P(0,0,3)，B(0,3,0)，D(3,0,0)，C(3,6,0)．

热点二、线面角的求解

例2：

热点三、二面角的求解