人教A版2003课标版《习题3.2》新课标优质课教案设计

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(1)学科角度

立体几何有两大核心关系：位置关系和度量关系。解决立体几何问题的常用方法有：几何法和向量法。本节课是在高三一轮复习中用向量法解决度量关系中的角度问题,即利用向量法求空间角。空间角与立体几何的其他知识点浑然一体，既考查了线线、线面、面面关系，又突出了知识间的联系，体现了知识的整体性。而本节课作为一节高三一轮复习课《立体几何中的向量法求空间角（一）》，是继《立体几何中的向量法证明平行和垂直》之后的课。

空间角(线线角、线面角、二面角)是立体几何中的一个重要概念，它是空间图形一个突出的量化指标，是空间图形位置关系的具体体现，故它以高频率的姿态出现在历届高考试题中。在《2014年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）考试说明.数学（理科）》中,对空间角的考试要求层次为C，即掌握层次。这一层次所涉及的行为动词有：掌握、分析、推导、研究、运用、解决问题等。近些年立体几何的高考题中，偏题怪题很少出现，几何图形基本都是规则的，能建立空间直角坐标系的。就2014年全国各省市数学理科高考的18套试题不难发现，解答题中考查有5套考查了线线角，4套考查了线面角，13套考查了二面角。因此，用向量法求解空间角问题是立体几何教学的重点。

(2)教育角度

空间向量为立体几何的计算乃至证明开辟了一条新的思路，具有把立体几何问题算法化、处理方式标准化的特点。向量法不依赖较多的数学知识（大量的公理、定理和严格的演绎逻辑），使许多立体几何的“ 形” 的思维转化为“数”的构想，从而使现代思想中数形结合的思想更加充实。空间向量的引入降低了立体几何学习的难度，充分关注到了不同学生在数学上的不同需求，使不同学生在数学上能得到不同发展，符合新课程标准注重知识的有效性和实用性，减轻学生数学学习负担的理念。

立体几何中的向量方法既是前面平面几何中向量方法的深化，又是n维欧式空间学习的拓展基础。几何发展的根本出路是代数化，引入向量研究是几何代数化的需要。将向量及其运算在直角坐标系中用数量反映的思维模式也体现了现代数学发展的方向，有利于学生进入大学的进一步学习，有利于学生养成良好的思维方式，以适应信息时代数字化的需要。

2.学生分析

学生通过高二对立体几何新课的学习，已经掌握了向量法求空间角的一般步骤和方法。本节课是高三一轮复习课，学生已经复习了空间中的几何位置关系(点与平面的位置关系，直线与平面平行，直线与平面垂直，平面与平面平行)；空间向量及其运算；立体几何中的向量法证明平行和垂直。也已经复习了传统几何方法求空间角。结合所任教班级为高三理科实验班, 学生已经较好掌握了向量法求空间角的一般步骤和方法，而向量夹角与空间角的转化是学生的易错点和难点。究其本质是因为学生没有真正“理清”空间角和向量夹角的关系。因此本节课试图让学生再次深度体验空间角与向量夹角这两者概念间的区别和联系，从根本上解决学生学习的这一难点,从而真正实现一轮复习“夯基释疑”的根本目的。基于学生的数学基础较为扎实，因此本节课试图大胆放手让学生充分的体验和自主探索,在解决问题的过程中不断地完善自我的认知结构。

3.目标分析

结果性目标: 能用向量法正确求解空间角。

体验性目标: 在作图分析空间角与向量夹角关系的活动中，体验空间角与向量夹角的关联，体验文字、图形、符号三种数学语言之间的关联。

4.媒体分析

除使用常规黑板板书 教学 手段外，还将使用多媒体投影和 计算机 来辅助 教学 。多媒体投影为师生的交流和讨论提供了平台； 计算机 则清晰地展示了教学环节。

5.核心问题分析

本节课核心问题：作图分析空间角与向量夹角的关系。

设计思想：通过教材分析明确了这节课的教学重点是向量法求三种空间角，而通过学生分析明确了本节课的教学难点是向量夹角与空间角的转化关系。因此，基于本课的根本目标是突破教学重点和教学难点，实现结果性目标和体验性目标，最终将本节课核心问题确立为：作图分析空间角与向量夹角的关系。学生的学习过程是一个不断体验的过程，学生只有通过充分的体验，才能达到对知识的理解和方法的掌握，才能形成情感和感悟，才能实现思维和能力的发展。基于自主探索、合作交流是高中数学新课程倡导的学习数学的重要活动方式，结合我校核心问题教学模式对本节课作如下设计：（1）提出问题——基于学生课前活动成果展示过程中存在的“老问题”,“真问题”提出本节课的核心问题；（2）解决问题——通过学生自主探索、小组合作讨论、全班展示交流(教师适时点评)等活动解决问题；（3）反思提升——通过回顾、反思核心问题的解决过程，提升知识和体会思想方法；（4）运用反馈——通过反馈练习，巩固知识方法。

二、教学实施设计

1.教学环节

（1）提出问题 (3分钟)

①展示学生自主课前活动的成果：

课前活动:用向量法求空间角

如图1， ， ，过动点 作 ，垂足 在线段 上且异于点 ，连接 ，沿 将 折起,使二面角 的大小为 (如图2所示).当 时，设点 分别为棱 的中点，试在棱 上确定一点 ，使得 ，并求：（Ⅰ）直线 与 所成角的余弦值；（Ⅱ）直线 与平面 所成角的大小；（Ⅲ）二面角 的余弦值.

设计意图：此题改编自2012年湖北理科高考19题。通过此题

唤醒和激发学生已有的用向量法求解三种空间角的方法,并通

过学生此题的完成情况发现学生的“真问题”。利用向量法