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《小结》最新教案优质课下载
把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。 （回归图形本身）
二、知识回顾
1．平面的法向量
(1)直线的方向向量
直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的向量．
(2)平面的法向量
直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则a叫做平面α的法向量．
[解] 因为A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，所以 ＝(1，－2，－4)， ＝(2，－4，－3)．设平面α的法向量为n＝(x，y，z)，则有 eq ﹨b﹨lc﹨{﹨rc﹨ (﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(n· ＝0，,n· ＝0，)) 即 eq ﹨b﹨lc﹨{﹨rc﹨ (﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(x－2y－4z＝0，,2x－4y－3z＝0.)) 得z＝0，x＝2y，令y＝1，则x＝2，所以平面α的一个法向量为n＝(2,1,0)．
利用待定系数法求法向量的解题步骤
1．空间角及向量求法
角的分类向量求法范围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量为a，b，则cos θ＝|cos〈a，b〉|＝ eq ﹨f(|a·b|,|a||b|) 0， eq ﹨f(π,2) 直线与平面所成的角设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈a，n〉|＝ eq ﹨f(|a·n|,|a||n|) 0， eq ﹨f(π,2) 二面角设二面角α-l-β的平面角为θ，平面α，β的法向量为n1，n2，则|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|＝ eq ﹨f(|n1·n2|,|n1||n2|) [0，π]
利用空间向量求两条异面直线所成的角，可以避免复杂的几何作图和论证过程，只需通过相应的向量运算即可，但应注意：用向量法求两条异面直线所成的角是通过两条直线的方向向量的夹角来求解的，而两条异面直线所成角θ的取值范围是0， eq ﹨f(π,2) ，两向量的夹角α的取值范围是[0，π]，所以cos θ＝|cos α|.
[活学活用]
如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，面ABCD与面D1C1CD垂直，且∠D1DC＝ eq ﹨f(π,3) ，DC＝DD1＝2，DA＝ eq ﹨r(3) ，∠ADC＝ eq ﹨f(π,2) ，求异面直线A1C与AD1所成角的余弦值．
(1)求证：PB⊥DM；
(2)求BD与平面 ADMN所成的角．
求直线与平面的夹角的方法与步骤
思路一：找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)．