人教A版2003课标版《1.1.2导数的概念》优质课教案设计

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从具体案例中，发现平均变化率在刻画变化规律中的作用和局限性。

通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解利用平均变化率的极限刻画瞬时变化率的思想。

自然合理地形成微分、逼近、极限等数学观点，体会微积分的思想及其内涵，理解导数就是瞬时变化率。

教学问题诊断分析

函数是刻画运动变化的重要数学模型，函数的图象与性质是学生定性分析变化现象的重要认知基础。或许学生能够从函数图象上感受函数变化的快与慢。但学生往往缺乏从定量和抽象的层面去分析数学问题本质的习惯与能力。本节课的第一个难点是从现实背景中抽象出函数平均变化率的概念，即 EMBED Equation.3 是表示函数 EMBED Equation.3 在区间[ EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 ]或[ EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 ]上函数平均变化率。对于高中学生而言，他们习惯于用静态的思维来观察和表达一个数学现象。在本节课中，预计学生会产生这样的问题：（1）当区间不断缩小时，函数在这个区间上的平均变化率将会发生怎样的变化？这种变化有什么规律？（2）在变化的“瞬间”，平均变化率有没有意义？它还能否刻画“瞬间”的变化规律？（3）当 EMBED Equation.3 时， EMBED Equation.3 将成为 EMBED Equation.3 型的式子，它还有意义吗？其实这些问题不仅会困扰现在的学生，也困扰了当时的数学家们。因此本节课的难点是从平均变化率概念到瞬时变化率概念的产生和形成。特别是微分、逼近、极限思想的体现和运用。

教学支持条件分析

学生对于函数概念、函数图象与性质等知识与方法理解和掌握是本节课的教学基点。因此可以引导学生从函数解析式、函数的单调性等方面去探究，特别是利用函数图象直观，对由函数刻画的变化现象作出定性的分析。在此基础上，引导学生进行数学抽象和数学概念的形成与发展。学生的生活经验、原有的知识基础，直观而形象的课件都可以支持学生对一个问题从表面到本质，从形象到抽象的转变。

教学过程设计

创设情景、引入课题

开门见山，引入课题。提出今天学习的课题是“变化率与导数”，并指出变化是自然界的普遍现象，丰富多彩的变化问题随处可见。

问题1：如何用数学的方法观察和分析一个变化现象？

以来自于学生的生活经验为例。

“当你吹气球的时候，随着球内的空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢。”

你能否用数学的方法，来解释这种现象。

设计意图：这是教材中的例子，问题的设计包含两个方面。第一，对于一个实际问题的数学解决，需要对问题进行理想化，抓住问题的本质而忽略次部分。这是数学建模的思想。在本问题中，气球可以抽象为标准的球体，因此球体的体积与半径之间的关系就能明确地表达出来， EMBED Equation.3 。这样我们就能定量地研究气球容量 EMBED Equation.3 与半径 EMBED Equation.3 之间的关系。同时，空气要求是均匀地冲入气球的。其次，问题具有一定的开放性，可以运用多种数学方法来解释这种现象，以便教师引导学生归纳总结出，用平均变化率是刻画这种现象的简单而有效的方法。

活动预设：希望学生能够从他们的视角来回答问题。如从函数变化的角度， EMBED Equation.3 ，利用学生对于幂函数图象与性质的基础，画出这个函数的图象。从函数图象上可以看出函数 EMBED Equation.3 是增函数，并且增长的速度是变慢的。

如果是这样，教师可以通过追问，什么是“增长的速度是变慢”？进而引入到更加精细的定量分析：

（1）当空气容量从0增加到1L时，气球半径增加了： EMBED Equation.3 （dm）

气球的平均膨胀率为： EMBED Equation.3 （dm/L）；

（2）当空气容量从1增加到2L时，气球半径增加了： EMBED Equation.3 （dm）

气球的平均膨胀率为： EMBED Equation.3 （dm/L）；

通过图象分析与电子表格计算，可以看到平均膨胀率是逐渐减小的。

引导学生发现：平均变化率是解释变化现象的重要指标。

问题1—2：你能举出一些你所知道的用平均变化率来描述的指标吗？

设计意图：概念的产生的一个重要途径是归纳，光有一个例子是不够的。由于教学时间的限制，不允许教师通过多个例子来建立平均变化率的概念，因此需要利用学生原有知识结构，对平均变化率概念进行顺应和同化。预设学生能够回答诸如斜率、增长率、利率、速度、加速度、效率、利润、功率等。