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选修2-2《1.3.2函数的极值与导数》最新教案优质课下载
(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是_____________
2、两个关系
(1)f′(x)＞0在(a，b)上成立，是f(x)在(a，b)上单调递增的__________条件。
（2）f′(x)≥0(或f′(x)≤0)是f(x)在(a，b)内单调递增(或递减)的 _______条件(f′(x)＝0不恒成立)．
【例1】已知函数f(x)＝lnx－a2x2＋ax(a∈R)。
(1)当a＝1时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在区间(1，＋∞)上是减函数，求实数a的取值范围。
解析：(1)当a＝1时，f(x)＝lnx－x2＋x，
其定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝ eq ﹨f(1,x) －2x＋1＝－ eq ﹨f(2x2－x－1,x) ，
令f′(x)＝0，即－ eq ﹨f(2x2－x－1,x) ＝0，解得x＝－ eq ﹨f(1,2) 或x＝1。
∵x＞0，∴x＝1。当0＜x＜1时，f′(x)＞0；当x＞1时，f′(x)＜0。
∴函数f(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减。
(2)显然函数f(x)＝lnx－a2x2＋ax的定义域为(0，＋∞)，
∴f′(x)＝ eq ﹨f(1,x) －2a2x＋a＝ eq ﹨f(－2a2x2＋ax＋1,x) ＝ eq ﹨f(－?2ax＋1??ax－1?,x) 。
①当a＝0时，f′(x)＝ eq ﹨f(1,x) ＞0，∴f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，不合题意。
②当a＞0时，f′(x)≤0(x＞0)等价于(2ax＋1)(ax－1)≥0(x＞0)，
即x≥ eq ﹨f(1,a) ，此时f(x)的单调递减区间为 eq ﹨b﹨lc﹨[﹨rc﹨)(﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(﹨f(1,a)，＋∞)) 。由 eq ﹨b﹨lc﹨{﹨rc﹨ (﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(﹨f(1,a)≤1，,a＞0，)) 得a≥1。
③当a＜0时，f′(x)≤0(x＞0)等价于(2ax＋1)(ax－1)≥0(x＞0)，即x≥－ eq ﹨f(1,2a) ，此时f(x)的单调递减区间为 eq ﹨b﹨lc﹨[﹨rc﹨)(﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(－﹨f(1,2a)，＋∞)) 。
由 eq ﹨b﹨lc﹨{﹨rc﹨ (﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(－﹨f(1,2a)≤1，,a＜0，)) 得a≤－ eq ﹨f(1,2) 。
综上，实数a的取值范围是 eq ﹨b﹨lc﹨(﹨rc﹨](﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(－∞，－﹨f(1,2))) ∪[1，＋∞)。
【变式训练1】已知函数f(x)＝ eq ﹨f(3x,a) －2x2＋lnx，其中a为常数。
(1)若a＝1，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数，求a的取值范围。
解析：(1)若a＝1，则f(x)＝3x－2x2＋lnx的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝ eq ﹨f(1,x) －4x＋3＝ eq ﹨f(－4x2＋3x＋1,x) ＝ eq ﹨f(－?4x＋1??x－1?,x) (x＞0)。