选修2-2《1.3.3函数的最大（小）值与导数》优质课教案设计

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【问题分析】自从导数引入到高中课本后，导数的应用在高考试卷中的地位一直是“千年老妖”，一直作为压轴题出现。导数经常与函数的性质（包括单调性、最值、函数零点、函数图像等），方程与不等式结合，考查学生的分析问题能力与解决问题能力。在本道题中第2问证明不等式，可以借助函数的最值思想，求 的最小值。利用函数的导数讨论单调性的关键是证明 和 ，而常常由 的极值点作为确定单调区间的突破口，不等式的证明常常从 和 两个不等式出发，推导时会广泛用到函数和不等式的相关知识。 ，所以 ，但我们会发现无法判断 的符号，不能判断函数的单调性。在这里，主要问题是对指数函数 与对数函数 的乘积求导后，结果太复杂，所以我们可以想到对指、对函数进行剥离，这需要对待证的不等式进行等价变形。 .一般地，不等式两边都有变量 时，我们应移项考虑，证明左边减右边的差大于0（即 ），但同样发现 求导之后无法判断符号。此时，需要我们考虑特殊情况，左边 的最小值大于右边 的最大值，从而使问题得到解决。

【问题解析】（1）易得 ；

（2） .

设函数 ，则 .所以当 时， ；当 时， .故函数 在 上单调递减，在 上单调递增，从而 在 上的最小值为 .

设函数 ，则 .所以当 时， ；当 时， .故 在 上单调递增，在 上单调递减，从而 在 上的最大值为 .

综上，当 时， ，即 .

【问题探源】作为全卷的压轴题，选择数学核心内容，在重点考查代数推理能力和数学思想方法的同时，兼顾对继续进入大学学习潜能的考查。函数既是中学数学的核心内容又是高等数学的重要基础，函数单调性则是中学函数最重要最普遍的性质，选择函数的单调性及其应用作为考查对象，通过单调性（本质就是不等关系）证明有关不等式达到考查推理能力和函数与方程思想方法的目的。对函数单调性和导数的考查属于掌握层次，不仅要求能求出函数的导数和单调性，还要求建立函数图像、性质与导数的联系，并在此基础上通过列出有关不等式（方程）进行推理求解。试题中一般是根据函数的一般性质或某类函数的特殊性质，并结合已知函数的图像和特性来设计问题。

首先，我们看到 与 .在高中，主要是学习了基本初等函数，特别是 ， ， ， ， ， ， ，命题者只能是在基本初等函数的基础上进行加、减、乘、除的运算，同时兼顾函数表达式的简洁美。

下面我们用几何画板演示这两个函数的图像，观察它们的关系，或许能从中触摸到命题者的思路，为我们成功解决问题提供方向。我们发现函数 与 的 图像在常数函数 图像的两侧，我们完全有理由相信命题者正是发现了这一特征才有了这道试题。那么，我们深入地思考一下：如果 与 的图像的分水岭不是一条水平的直线，而是一条斜率不为0的直线呢？当然，这条直线在考场上考生难于发现，所以，我们可以把这条直线隐藏在题设中。

【问题创新】设函数 在点 处的切线方程为 .

(1)求 ； （2）证明： .

分析：第(1)问容易得到 。同样的，我们先要对原不等式进行等价变形，把指数函数与对数函数剥离，转化为证明 .我们先利用几何画板看看函数 与 的图像关系。会发现这两个函数的图像是以题目中的切线为分水岭，从而利用切线作为过渡，这也体现了曲化直的思想。于是有了下面的解法：

原不等式 ，设 ，所以 .由 得 ，所以 在 是减函数，在 为增函数，从而 .

设 ，所以 .设 ，所以 ，所以 在 为增函数.因为 ，所以 ，当 ，从而 为减函数，当 ，从而 为增函数.所以 >0.所以 .

综上， ，所以 .

结束语：我们在平时的教学中，注重对学生书写规范的训练，实际上是重视考生、试卷与阅卷者的三方对话。其实，我们也应该站在命题者的角度去审视试题，实现考生、试卷与命题者的三方对话，通过揣摩命题者的意图，借助几何画板还原命题的过程，从而达到攻坚克难的效果。