人教A版2003课标版《1.5.2汽车行驶的路程》新课标优质课教案设计

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教学重点：

掌握过程步骤：分割、以不变代变、求和、取极限（逼近）.

教学难点：

对过程中所包含的基本的微积分“以直代曲”的思想的理解.

教学过程设计：

（一）情景引入，激发兴趣

（教师引入）利用导数我们解决了“已知物体运动路程与时间的关系，求物体运动速度的问题”，反之，如果已知物体的速度与时间的关系，如何求其在一定时间内经过的路程呢？

（二）探究新知，揭示概念

问题1:汽车以速度v做匀速直线运动时,经过时间t所行驶的路程为S=vt. 如果汽车做匀速直线运动,在时刻t的速度为v(t)=0.6（单位：km/h）,那么它在0≤t≤1(单位:h)这段时间内行驶的路程S(单位:km)是多少?

通过确定汽车以速度v做匀速直线运动的路程，利用速度--时间函数图像发现路程的几何意义，其几何意义就是t=0、t=1、v=0、v=0.6所围成的图形面积.

问题2：如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度v(t)=0.6t（单位：km/h）,那么它在0≤t≤1(单位:h)这段时间内行驶的路程S(单位:km)是多少?

学生活动：根据物理知识，确定汽车在这段时间内行驶的路程，结合速度--时间函数图像发现t=0、t=1、v=0、v=0.6t所围成的图形面积在数值上与汽车行驶路程的关系. 进一步明确路程的几何意义是对应图形的面积.

分析：通过探究问题1、2发现路程的几何意义，为探究问题3汽车作变速运动时做铺垫，其路程的确定问题划归到曲边梯形面积的方法上.

问题3：如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v（t）= -t2 + 2（单位：km/h），那么它在0≤t≤1(单位:h)这段时间内行驶的路程S(单位:km)是多少?

分析：利用问题1、2得到路程S的几何意义，汽车行驶的路程S等于S在数据上等于由直线t=0、t=1、v=0和曲线v（t）= -t2 + 2所围成的曲边梯形的面积. 所以与求曲边梯形面积类似，采取“以不变代变”的方法，把求变速直线运动的路程问题划归为匀速直线运动的路程问题. 把区间〔0,1〕分成n个小区间，在每个小区间上，由于v(t)的变化很小，可以近似地看做汽车做匀速直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似值. 再求和得S(单位:km)的近似值，最后让趋近于无穷大就得到S(单位:km)的精确值. （思想：用划归为各个小区间上匀速直线运动路程和无限逼近的思想方法，求出匀变速直线运动的路程.）

（三）分析归纳，抽象概括

结合求曲边梯形面积的过程，你认为汽车行驶的路程S与由直线t=0、t=1、v=0和曲线 v（t）= -t2 + 2所围成的曲边梯形的面积有什么关系？

结合上述求解过程，可知汽车行驶的路程 ,

在数据上等于由曲线t=0、t=1、v=0和曲线v（t）= -t2 + 2所围成的曲边梯形的面积.

一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数v=v(t)，

，那么我们也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，利用“以不变代变”的方法及无限逼近的思想，求出它在a≤t≤b所做的位移S.

（四）知识应用，深化理解

例：一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，设汽车在时刻t的速度为v(t)=-t2 + 5（单位：km/h），试计算这辆汽车在0≤t≤2（单位：h）这段时间内行驶的路程S（单位：km）.

分析：利用“以不变代变”的思想，采用分割、近似代替、求和、取极限的方法求解.

（学生尝试解答后教师点评）