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选修2-3《1.2.2组合》公开课教案优质课下载
例1 六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
(1)每组两本.
(2)一组一本，一组二本，一组三本.
(3)一组四本，另外两组各一本.
分析：(1)分组与顺序无关，是组合问题。分组数是 EMBED Equation.2 =90(种) ，这90种分组实际上重复了6次。我们不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码，考察以下两种分法：(1，2)(3，4)(5，6)与(3，4)(1，2)(5，6)，由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法。以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数 EMBED Equation.2 ，所以分法是 EMBED Equation.2 =15(种)。
(2)先分组，方法是 EMBED Equation.2 ，那么还要不要除以 EMBED Equation.2 ？我们发现，由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有 EMBED Equation.2 =60(种) 分法。
(3)分组方法是 EMBED Equation.2 =30(种) ，那么其中有没有重复的分法呢？我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复。所以实际分法是 EMBED Equation.2 =15(种)。
通过以上三个小题的分析，我们可以得出分组问题的一般方法。
结论1： 一般地，n个不同的元素分成p组，各组内元素数目分别为m EMBED Equation.2 ，m EMBED Equation.2 ，…，m EMBED Equation.2 ，其中k组内元素数目相等，那么分组方法数是 EMBED Equation.2 。
三、基本的分配的问题
(一)定向分配问题
例2 六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
甲两本、乙两本、丙两本.
甲一本、乙两本、丙三本.
甲四本、乙一本、丙一本.
分析：由于分配给三人，每人分几本是一定的,属分配问题中的定向分配问题，由分布计数原理不难解出：分别有 EMBED Equation.2 =90(种)， EMBED Equation.2 =60(种)， EMBED Equation.2 =30(种)。
(二)不定向分配问题
例3六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
每人两本.
(2) 一人一本、一人两本、一人三本.
(3) 一人四本、一人一本、一人一本.
分析：此组题属于分配中的不定向分配问题，是该类题中比较困难的问题。由于分配给三人，同一本书给不同的人是不同的分法，所以是排列问题。实际上可看作“分为三组，再将这三组分给甲、乙、丙三人”，因此只要将分组方法数再乘以 EMBED Equation.2 ，即 EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 =90(种)， EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 =360(种) EMBED Equation.2 EMBED Equation.2 =90(种)。
结论2. 一般地，如果把不同的元素分配给几个不同对象，并且每个不同对象可接受的元素个数没有限制，那么实际上是先分组后排列的问题，即分组方案数乘以不同对象数的全排列数。
通过以上分析不难得出解不定向分配题的一般原则：先分组后排列。
例4 六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种分法？