《3.1回归分析的基本思想及其初步应用》优质课教案设计

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教学重点，难点

线性回归模型的建立和线性回归系数的最佳估计值的探求方法.

教学过程

一．问题情境

1． 情境：对一作直线运动的质点的运动过程观测了 次，得到如下表所示的数据，试估计当x=９时的位置y的值．

时刻 /s 位置观测值 /cm 根据《数学 （必修）》中的有关内容，解决这个问题的方法是：

先作散点图，如下图所示：

从散点图中可以看出，样本点呈直线趋势，时间 与位置观测值y之间有着较好的线性关系．因此可以用线性回归方程来刻画它们之间的关系．根据线性回归的系数公式，

可以得到线性回归方为 ，所以当 时，由线性回归方程可以估计其位置值为

2．问题：在时刻 时，质点的运动位置一定是 吗？

二．学生活动

思考，讨论：这些点并不都在同一条直线上，上述直线并不能精确地反映 与 之间的关系， 的值不能由 完全确定，它们之间是统计相关关系， 的实际值与估计值之间存在着误差．

三．建构数学

1．线性回归模型的定义：

我们将用于估计 值的线性函数 作为确定性函数； 的实际值与估计值之间的误差记为 ，称之为随机误差；将 称为线性回归模型．

说明：（1）产生随机误差的主要原因有：

①所用的确定性函数不恰当引起的误差；

②忽略了某些因素的影响；

③存在观测误差．

（2）对于线性回归模型，我们应该考虑下面两个问题：

①模型是否合理；

②在模型合理的情况下，如何估计 ， ？

2．探求线性回归系数的最佳估计值：

对于问题②，设有 对观测数据 ，根据线性回归模型，对于每一个 ，对应的随机误差项 ，我们希望总误差越小越好，即要使 越小越好．所以，只要求出使 取得最小值时的 ， 值作为 ， 的估计值，记为 ， ．

注：这里的 就是拟合直线上的点 到点 的距离．