人教A版2003课标版《四柱坐标系与球坐标系简介》新课标优质课教案设计

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(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为 eq ﹨b﹨lc﹨{(﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(x＝ρcos θ,y＝ρsin θ,z＝z)) ．

2．球坐标系

(1)定义：一般地，如图建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ.设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小正角为θ.这样点P的位置就可以用有序数组(r，φ，θ)表示．这样，空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做点P的球坐标，记作P(r，φ，θ)，其中r≥0，0≤φ≤π，0≤θ<2π．

(2)空间点P的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换公式为 eq ﹨b﹨lc﹨{(﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(x＝rsin φcos θ,y＝rsin φsin θ,z＝rcos φ)) ．

1．在球坐标系中，方程r＝2表示空间的(　　)

A．球　　　　　　　　B．球面

C．圆 D．直线

解析：选B.设方程r＝2的解在空间对应点P的球坐标为P(2，φ，θ)，直角坐标为P(x，y，z)．

则x＝2sin φcos θ，y＝2sin φsin θ，z＝2cos φ，

所以|OP|＝ eq ﹨r(x2＋y2＋z2) ＝ eq ﹨r(4sin2φcos2θ＋4sin2φsin2θ＋4cos2φ) ＝2.

所以P点的轨迹是以原点为球心，2为半径的球面．

2．点M的柱坐标为 eq ﹨b﹨lc﹨(﹨rc﹨)(﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(1，﹨f(π,2)，8)) ，则它的直角坐标为(　　)

A．(0，1，8) B．(1，0，8)

C．(－1，0，8) D．(0，－1，8)

解析：选A.设M的直角坐标为(x，y，z)，

则 eq ﹨b﹨lc﹨{(﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(x＝1×cos ﹨f(π,2)，,y＝1×sin ﹨f(π,2)，,z＝8，))

所以 eq ﹨b﹨lc﹨{(﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(x＝0，,y＝1，,z＝8，)) 故选A.

3．设点M的直角坐标为(－1，－1， eq ﹨r(2) )，则它的球坐标为________．

解析：由坐标变换公式得r＝ eq ﹨r(x2＋y2＋z2) ＝2，

cos φ＝ eq ﹨f(z,r) ＝ eq ﹨f(﹨r(2),2) ，

所以φ＝ eq ﹨f(π,4) ，

因为tan θ＝ eq ﹨f(y,x) ＝ eq ﹨f(－1,－1) ＝1，x＜0，y＜0，

所以θ＝ eq ﹨f(5,4) π，

所以M的球坐标为 eq ﹨b﹨lc﹨(﹨rc﹨)(﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(2，﹨f(π,4)，﹨f(5,4)π)) .

答案： eq ﹨b﹨lc﹨(﹨rc﹨)(﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(2，﹨f(π,4)，﹨f(5,4)π))