人教A版2003课标版《四渐开线与摆线》集体备课教案设计

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3、通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。

二、重、难点

教学重点：解平摆线的生成过程及它的参数方程。

教学难点：平摆线参数方程的推导。

三、教学方法：实验探究、演示法、讲授法。

四、教学过程

（一）历史背景

意大利科学家伽利略在1630年提出一个问题：“一个质点在重力的作用下，从一个给定点A到它斜下方的另一个定点B，如果不计摩擦力，问沿着什么轨迹下滑所需时间最短?”

（二）情境导入

问题1、如果在自行车的轮子上喷一个印记，那么自行车在笔直的道路上行使时，印记会画出什么样的曲线？

动态演示：自行车行驶过程中，轮胎上一定点M的运动轨迹。

我们把点M的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线。

（三）新课讲授

1、摆线的定义：一个定圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆上定点M的运动轨迹，叫做平摆线，简称摆线。

摆线在它与定直线的两个相邻交点之间的部分叫做一个拱。

思考：如果已知滚动圆的半径为r，一个拱的宽度和高度分别是多少？

动态演示：摆线的形成过程。

（四）实验探究

当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，作出圆上定点M的运动轨迹，并找出M点在圆B沿直线滚动过程中满足的几何条件。

学生利用学具做摆线的图像，并寻找点M在圆沿定直线滚动过程中满足的几何条件。

动态演示：摆线的形成过程。

（五）摆线参数方程的推导

取定直线为x轴，定点M滚动开始时落在定直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系。设圆的半径为r。当圆滚动角后切点为A，此时点M的坐标表示为：

所以，摆线的参数方程为：

总结：点的坐标转化为线段的长度，求点的坐标时，常用“横平竖直”的方法作辅助线。