《2.基本不等式》优质课教案下载

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利用基本不等式证明不等式教学难点

利用基本不等式证明简单不等式或比较大小时还经常结合因式分解、分类讨论等知识．教法

与

学法 讲练结合，演示法，讨论学习教

学

活

动

设

计师生活动设计意图批注自学引导

基本不等式

（1）形式___

(2)成立的前提条件：a___0，b___0.

(3)等号成立的条件：当且仅当_____时等号成立．

(4)结论：两个正数的算术平均数_______它们的几何平均数．

1．对于概念的理解

(1)基本不等式成立的条件：a＞0且b＞0；其中等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号，即若a≠b时，则 eq ﹨r(ab) ≠ eq ﹨f(a＋b,2) ，即只能有 eq ﹨r(ab) ＜ eq ﹨f(a＋b,2) .

(2)基本不等式 eq ﹨r(ab) ≤ eq ﹨f(a＋b,2) (a＞0，b＞0)又称为均值不等式，其中 eq ﹨f(a＋b,2) 叫做a，b的算术平均数， eq ﹨r(ab) 叫做a，b的几何平均数，因此两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

(3)如果把 eq ﹨f(a＋b,2) 看作正数a，b的等差中项，把 eq ﹨r(ab) 看作正数a，b的正的等比中项，则有两个正数的等差中项不小于它们的正的等比中项．

2．基本不等式的变形不等式

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)

(2)a＋b≥2 eq ﹨r(ab) (a，b∈R＋)，ab≤ eq ﹨b﹨lc﹨(﹨rc﹨)(﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(﹨f(a＋b,2))) 2(a，b∈R＋)

(3) eq ﹨f(b,a) ＋ eq ﹨f(a,b) ≥2(ab＞0)

(4) eq ﹨f(2,﹨f(1,a)＋﹨f(1,b)) ≤ eq ﹨r(ab) ≤ eq ﹨f(a＋b,2) ≤ eq ﹨r(﹨f(a2＋b2,2)) (a，b∈R＋)．

例1. 已知0＜a＜1,0＜b＜1，则a＋b,2 eq ﹨r(ab) ，a2＋b2,2ab中哪一个最大？

[思路探索] 由已知a，b均为正数，且四个式子均为基本不等式中的式子或其变形，可用基本不等式来解决．