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师梦圆高中数学教材同步人教A版版选修4-5 不等式选讲3.三个正数的算术-几何平均不等式下载详情
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选修4-5不等式选讲《3.三个正数的算术-几何平均不等式》教案优质课下载

教学重、难点

重点:三个正数均值不等式定理的应用;

难点:解题中的转化技巧。

教学过程:

温故知新:两个正数的均值不等式

引入新课:猜想对于3个正数如果 ,那么 (当且仅当 时取“=”)是否成立?

探究1a、b、c∈R+, 那么a3+b3+c3≥3abc, 当且仅当a=b=c时, 等号成立即可(参考公式: (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3; a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2))

证明:

对上述结果作简单的恒等变形,就可以的到

定理3 如果 ,那么 ,当且仅当 时取“=”

语言表述: 三个正数的算术平均不小于它们的几何平均. (2)定理3可变形为:①abc≤( eq ﹨f(a+b+c,3) )3;②a3+b3+c3≥3abc

推广: ≥

语言表述:

上述重要不等式有着广泛的应用,例如:证明不等式,求函数最值,判断变量或数学式子的取值范围等等 它们涉及到的题目活,变形多,必须把握好凑形技巧 今天,我们就来进一步学习均值不等式的应用.

例1:已知x、y、z∈R+, 求(x+y+z)3≥27xyz

例2 将一块边长为 的正方形铁皮,剪去四个角(四个全等的正方形),作成一个无盖的铁盒,要使其容积最大,剪去的小正方形的边长为多少?最大容积是多少?

解:设切去窃取的正方形边长为x,无盖方盒子的容积为V,则

(师生共同总结此题规律。)

例3 求函数 (x>0)的最小值?

解:f(x)=2x2+ eq ﹨f(3,x)

=2x2+ eq ﹨f(3,2x) + eq ﹨f(3,2x) ≥3 eq ﹨r(3,2x2·﹨f(3,2x)·﹨f(3,2x))

= eq ﹨f(3,2) eq ﹨r(3,36) ,

当且仅当2x2= eq ﹨f(3,2x) = eq ﹨f(3,2x) ,即x= eq ﹨f(﹨r(3,6),2) 时取等号,此时函数取最小值 eq ﹨f(3,2) eq ﹨r(3,36) .

(师生共同总结此题规律。)

课堂练习:1.函数y=x2·(1-5x) eq ﹨b﹨lc﹨(﹨rc﹨)(﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(0≤x≤﹨f(1,5))) 的最大值为?