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《3.三个正数的算术-几何平均不等式》最新教案优质课下载
教学设计
设计意图师生活动复习引入:
基本不等式:如果 那么
当且仅当 时成立复习旧知识,让学生容易进入新课的学习。
请学生作答。二、讲授新课
思考:基本不等式给出了两个正数的算术平均与几何平均的关系,这个不等式能否推广呢?例如,对于3个正数,会有怎样的不等式成立?使学生在已有知识和经验的基础上,探索新知。
学生回顾,并回答。类比基本不等式的形式,我们猜想:
对于3个正数 可能有:
如果 R+,那么有 ,
当且仅当 时,等号成立。
证明:(课堂内不作要求,有兴趣的同学可以在课外研究。)
引导学生进行类比、猜想,得出一般的结论。尽可能的让学生进行类比、猜想,学生猜想的结果可能会很多,可一一让学生展示交流。定理:如果 R+,那么有 ,
当且仅当 时,等号成立。
这个等式表述为:三个正数的算术—几何平均不等式
注:
1、若三个正数的积是一个常数,那么当且仅当这三个正数相等时,它们的和有最小值。
2、若三个正数的和是一个常数,那么当且仅当这三个正数相等时,它们的积有最大值。
事实上,基本不等式可以推广到一般的情形:
即:n个正数的算术—几何平均不等式:
。
学生思考,教师引导。三、例题:
例1:已知一矩形的面积为定值S,求该矩形的周长的最小值。
变式:已知一长方体的体积为定值V,求长方体的所有棱长之和的最小值。
例2:已知长方形的周长为l,则面积的最大值为多少?
变式:已知长方体的所有棱长之和为定值l ,则体积V的最大值为多少?