《三反证法与放缩法》优质课教案下载

《三反证法与放缩法》优质课教案下载

2、用放缩法证明不等关系

内容解析

在证明不等式的时候，在直接证明遇到困难的时候,可以利用不等式的传递性，把要证明的不等式加强为一个易证的不等式，即欲证A>B，我们可以适当的找一个中间量C作为媒介，证明A>C且C>B,从而得到A>B.我们把这种把B放大到C(或把A缩小到C)的方法称为放缩法.放缩是一种重要的变形手段,但是放缩的对象以及放缩的尺度不易掌握,技巧性较强,这关系到证明的成败,往往需要根据具体的题目经过多次的探索和试验才能成功,因此必须多练. 比较常用的方法是把分母或分子适当放大或缩小（减去或加上一个正数）使不等式简化易证。

基于以上分析，确定本节课的教学重点是：会利用放缩法证明不等式。

教学目标

1、了解放缩法的概念.

2、能使用放缩法证明简单的不等关系.

3、经历知识的生成过程,初步掌握放缩的技巧.

目标解析教学问题诊断分析

放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一,放缩必须有目标,而且要恰到好处,目标往往要从证明的结论考察.常用的放缩方法有增项,减项,利用分式的性质,利用不等式的性质,利用已知不等式,利用函数的性质进行放缩等.

学生在高中阶段已经学习了基本不等式与绝对值不等式，会用裂项法对数列求和等，具备了一定的掌握放缩法的理论依据和技巧。

因此，本节课在教学过程中可能遇到的主要障碍，一是过度放缩，二是不能选择恰当的放缩方法。 这两点是本节的教学难点，课堂教学中要注重对学生的引导和强调。

基于以上分析，本节课的教学难点是：运用放缩法证明不等关系

教学过程设计

知识梳理

证明不等式时,通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小,简化不等式,从而达到证明的目的.我们把这种方法称为放缩法.

知识导学

放缩法多借助于一个或多个中间量进行放大或缩小,如欲证A≥B,需通过B≤B1,B1≤B2≤…≤Bi≤A(或A≥A1,A1≥A2≥…≥Ai≥B)，再利用传递性，达到证明的目的。

典题精讲

放缩法一般包括:用缩小分母,扩大分子,分式值增大；缩小分子,扩大分母,分式值缩小；全量不少于部分.每一次缩小其和变小,但需大于所求;每一次扩大其和变大,但需小于所求.即不能放缩不够或放缩过头,同时要使放缩后便于求和.

【例1】已知a, b, c, dR+，求证：

思路分析：不等式的两端是两个整数，中间是四个分式的和，可以通过把分母或分子适当放大或缩小（减去或加上一个正数）使不等式简化，从而得出证明。

证：记m =

∵a, b, c, dR+

∴