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《二维形式柯西不等式》集体备课教案优质课下载
证明：
(1)(a3+b3)(a2b+ab2)
=［( )2+( )2］［( )2+( )2］
≥( · ·b+ · ·a)2
=(a2b+ab2)2,
“=”成立的条件是 · ·a= · ·b,
即a=b时成立,但a≠b,故“＝”不成立.
∴(a3+b3)(a2b+ab2)>(a2b+ab2)2.
∴a3+b3>a2b+ab2.
(2)(a5+b5)(a+b)=［( )2+( )2］［( )2+( )2］
>( · + · )2
=(a3+b3)2.
由(1)知a3+b3>a2b+ab2,
∴(a5+b5)(a+b)>(a2b+ab2)2
=a2b2(a+b)2.
∴a5+b5>a2b2(a+b)=a3b2+a2b3.
∴原不等式成立.
温馨提示
要利用二维形式的柯西不等式,就需要想法把要证的不等式写成两数平方和与另两数平方和的乘积的形式或者出现“乘积和的形式”(即两个数的乘积与另两个数的乘积之和的形式).
各个击破
类题演练1
设a,b,c均为正实数,且acos2θ+bsin2θ 证明:∵acos2θ+bsin2θ ∴( cos2θ+ sin2θ)2 =［( cosθ)·cosθ+( sinθ)·sinθ］2