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《第二十四章 圆 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.1点和圆的位置关系 反证法》最新教研教案教学设计（人教版九年级上册）
四点共圆的条件是在学生学习了经过一个点的圆、经过两个点的圆、经过不在同一直线的三个点的圆、三角形与圆的关系、圆内接四边形后，对经过任意三点都不在同一直线上的四点共圆的条件的探究．圆内接四边形对角互补，相应地，对角互补的四边形的四个顶点共圆．
在四点共圆的条件的探究过程中，通过对特殊的四边形(平行四边形、矩形、等腰梯形)、共斜边的两个直角三角形的四个顶点组成的四边形等四边形的探究，发现一般的规律(过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆)，体现了特殊到一般的思想．同时，在研究的过程中，类比将四边形转化成三角形来研究，从三点共圆入手探究四点共圆的条件，体现了转化的思想和方法．另外，学生经历探究四点共圆的条件这一数学活动的全过程，在“做”的过程和“思考”的过程中积淀，有利于数学活动经验的积累．
基于以上分析，确定本节课的教学重点：四点共圆的条件的探究．
二、目标和目标解析
1．目标
(1)理解过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件．
(2)通过四点共圆的条件的探究和猜想的证明，体会由特殊到一般、转化的数学思想，积累数学活动的经验．
2．目标解析
达成目标(1)的标志是：知道对角互补的四边形的四个顶点共圆的结论，会应用反证法证明这一结论，能应用对角互补的四边形四个顶点共圆判断给定的四边形的四个顶点是否可以作一个圆．
达成目标(2)的标志是：通过画图、观察、测量、比较、分析平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形、共斜边的两个直角三角形的四个顶点组成的四边形等特殊的四边形的四个顶点能否共圆，得到对角互补的四边形四个顶点共圆的更一般的结论；将证明四点共圆的问题转化为不共线的三点可以确定的圆与第四个顶点的关系，并应用圆内接四边形对角互补获得证明；在解决问题的过程中，积极思考，勇于质疑，体会发现问题，解决问题、有效地呈现活动结果等过程是数学活动的基本过程．
三、教学问题诊断分析
学生在发现问题的阶段可能会受过任意一个三角形的三个顶点作一个圆的影响，去判断第四个顶点是否在这个圆上．解决这一问题的关键是引导学生从特殊的四边形出发，从特殊到一般来探究问题．通过分析平行四边形、矩形、菱形获得四边形的四个顶点共圆与四边形的边长无关的猜想，通过对等腰梯形的探究获得四边形的四个顶点共圆与四边形的内角是否是直角无关，通过对共斜边的两个直角三角形的四个顶点组成的四边形的四个顶点的探究获得四边形的四个顶点共圆与四边形是否存在一组对边平行无关，进而联想圆内接四边形对角互补，获得猜想．
另外，猜想的证明要用到反证法，学生可能不知如何入手，猜想的证明对学生来说是难点，关键是从过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆入手，把四点共圆问题转化成点与圆的关系，再由圆内接四边形对角互补得到证明方法．
本节课的教学难点是：对角互补的四边形四个顶点共圆的证明．
四、教学过程设计
1．创设情境，发现问题
引言 在前面的学习中，我们学习了经过一点A可以作无数个圆(图1(1))；经过两点A，B可以作无数个圆，圆心在线段AB的垂直平分线上(图1(2))；经过不在同一直线的三个点A，B，C可以确定一个圆，也就是说过任意一个三角形的三个顶点都能作一个圆(图1(3))．
图1(1) (2) (3)
问题1 过任意三点都不在同一直线上的四点能作一个圆吗？也就是说过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？
师生活动：教师提出问题，学生思考，回答问题．
设计意图：从经过一个点的圆、经过两个点的圆、经过不在同一直线的三个点圆、三角形与圆的关系入手，由经过三角形三个顶点可以作一个圆想到经过四边形的四个顶点是否可以作一个圆，从学生已有的知识经验出发，获得探究问题的方向．同时也渗透将探究四点共圆问题转化成三点共圆的问题．为后继猜想的证明作适当的知识准备．
2．合作探究 获得猜想
师生活动：学生分成小组，共同探究教师提出的问题(过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗)，学生代表展示小组讨论的过程与结果．教师重点关注学生自主探究的步骤和方法．
教师针对学生的不同方法、不同的表达形式给出指导，并引导学生从特殊的图形出发，寻找它们共性的条件．学生会出现下面几种常见情况．
(1)四(三)条边的垂直平分线交于一点的四边形；