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《第1章 二元一次方程组 1.4 三元一次方程组》课堂教学教案教学设计（湘教版）
一、情境导入
设 表示三种不同的物体，现用天平称了三次，如图所示，那么这三种物体的质量分别为多少克？
二、合作探究
探究点一：三元一次方程组的解法
【类型一】 一般方程组的求解
解析：先用加减消元法把方程②、③中z消去，得到一个关于x，y的二元一次方程，然后和方程①联立得方程组，求出x、y，再将x、y的值代入③求出z的值．
解：③×3－②得：7x－y＝35，变形后，代入①得：5x＋3(7x－35)＝25，解得x＝5；把x＝5代入①得：25＋3y＝25，y＝0；把x＝5，y＝0代入②得：2×5－3z＝19，解得z＝－3.原方程组的解为 eq ﹨b﹨lc﹨{(﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(x＝5，,y＝0，,z＝－3.))
方法总结：解三元一次方程组的方法：①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；②然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值；③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程；④解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值；⑤最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可．
【类型二】 对称方程组的求解
解析：三个式子相加再除以2得：x＋y＋z＝3，用这个式子分别减去方程组中的每个方程，即可求得x、y、z的值，得到方程组的解．
解： eq ﹨b﹨lc﹨{(﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(x＋y＝1①，,y＋z＝2②，,z＋x＝3③，)) ①＋②＋③，得2(x＋y＋z)＝6，即x＋y＋z＝3④，④－①，得z＝2，④－②，得x＝1，④－③，得y＝0，∴方程组的解是 eq ﹨b﹨lc﹨{(﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(x＝1，,y＝0，,z＝2.))
方法总结：解三元一次方程组时，如果方程组中的三个未知数，每个未知数的系数和与其他未知数的系数和相同，可考虑把几个方程相加，再除以一个适当的数，然后把这个方程分别与每个方程相减即可．
探究点二：三元一次方程组的应用
【类型一】 三元一次方程组的实际应用
解析：题中有三个等量关系：①甲组植树的株数＋乙组植树的株数＋丙组植树的株数＝50；②乙组植树的株数＝(甲组植树的株数＋丙组植树的株数)× eq ﹨f(1,4) ；③甲组植树的株数＝乙组植树的株数＋丙组植树的株数．根据这三个等量关系可列出三元一次方程组，求出方程组的解即可．
解：设甲组植树x株，乙组植树y株，丙组植树z株．由题意，得 eq ﹨b﹨lc﹨{(﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(x＋y＋z＝50，,y＝（x＋z）×﹨f(1,4)，,x＝y＋z，)) 解得 eq ﹨b﹨lc﹨{(﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(x＝25，,y＝10，,z＝15.))
答：甲组植树25株，乙组植树10株，丙组植树15株．
方法总结：解答此题的关键是根据三组等量关系列出三元一次方程组，然后用代入消元法或加减消元法求出方程组的解．
【类型二】 利用三元一次方程组求值
解析：把已知方程组与x＋y＝0组成三元一次方程组，再解之即可．