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《第2章 一元二次方程 2.4 一元二次方程根与系数的关系》课堂教学教案教学设计（湘教版）
重点：一元二次方程根与系数的关系及简单运用．
难点：一元二次方程根与系数的关系的推导.
【预习导学】
学生自主预习教材P41-P48，完成下列各题.
1.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）,在b2-4ac≥0的条件下，它的为 ，这个式子叫作一元二次方程的求根公式.
2.对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）,当 时，方程有两个 的实数根；当 时，方程有两个 的实数根；当 时，方程 实数根.
【探究展示】
?(一)合作探究
问题：我们已经知道，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的值由方程的系数a、b、c来决定，除此之外，根与系数之间还有什么关系呢？
做一做：
（1）先解方程，再填表：
方 程 X1 X2 X1+ X2 X1. X2 X2-2x=0 0 2 2 0 X2+3X-4=0 X2-5X-6=0
由上表猜测：若方程X2+bx+c=0的两个根为X1、X2，则X1+ X2= , X1. X2= .
（2）方程X2-5X+6=0的两个根为X1= , X2= ,则X2-5X+6= ，当一元二次方程二次项的系数为1时，两根之和等于 ，两根之积等于 ，那么二次项的系数不为1时，两根之和，两根之积与系数的关系又是怎样的呢？
动脑筋：
对于方程ax2+bx+c=0（a≠0），该方程的根与它的系数之间有什么关系呢？
当△≥0时，设ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根为X1、X2，则
ax2+bx+c=a（X-X1）（X-X2）
=a [ X2-（X1+ X2）X+ X1. X2]，
又 ax2+bx+c=a（X2+ EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ）
于是 X2+ EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 =a [ X2-（X1+ X2）X+ X1. X2]，
因此 EMBED Equation.3 =-（X1+ X2）， EMBED Equation.3 = X1. X2，
即 X1+ X2=- EMBED Equation.3 ，X1. X2= EMBED Equation.3
归纳：当△≥0时，一元二次方程两根之和等于 ，两根的积等于 ，这个关系通常被称为韦达定理，是法国数学家韦达最早发现的.
（二）展示提升