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九年级下册《第2章 圆 小结练习 小结练习(2)》优质课教案教学设计
教学重点:会利用“两点之间线段最短”求“一个动点一条对称轴中变动的两线段之和的最小值” 的几何问题。。
教学难点:会利用“垂线段最短”求“两个动点一个定点求线段之和的最小值” 的几何问题。
教学过程
一、复习导入:
几何中探究最短路径的原理主要有两种:一是垂线段最短;二是两点
之间,线段最短。求平面两折线的最短路径通常用轴对称变换、平移变换或旋转变换转化为两点间的线段。常见类型有以下六种模型:
1、直线L外有一点A,点P在直线L上运动,在直线L上标出当AP为最小值时点P的位置 。
2、直线L两侧分别有两点A、B,点P在直线L上运动,在直线L上标出当PA+PB为最小值时点P的位置。
3、直线L同侧分别有两点A、B,点P在直线L上运动,在直线L上标出当PA+PB为最小值时点P的位置。
4、 “饮马问题”,已知直线L⊥L′,在第一象限内分别有两点A、B,点P在直线L上运动, 点Q在直线L′上运动,在直线L和L′上标出当AP+PQ+QB为最小值时点P、点Q的位置。
5、已知半径为2的⊙O上有一动点P,点A在⊙O外且OA=5,求AP的取值范围。
6、已知线段AB=5,BC=3,求线段AC的取值范围。
二、讲解“一个动点一条对称轴的类型”的最值问题
例1.(内江中考)如图 1,正方形 ABCD 的面积为 12,△ABE 是等边三角形,点 E 在正方形 ABCD 内, 在对角线 AC 上有一点 P,使 PD+PE 最小,则这个最小值为______。
分析:先确定点P的位置,再求PD+PE 最小值。
(图1) (图2) (图3) (图4)
例2.如图2,在正方形ABCD中,边长为4,E为AB上的点,且AE=1,O为AC的中点,P为BC上的动点.则△EOP周长的最小值是( )
A. B. C. D.
分析:先找到点P的位置,再构造直角三角形利用“平行线等分线段定理”“勾股定理”等解决问题。
变式训练1:在边长为8的正方形ABCD的CD边上有一点N,DN=2,点P在AC上运动,求PD+PN的最小值。(学生分析)
小结:上述三道题之间的联系与区别:
例3.(2016·龙岩)如图 3,在周长为 12 的菱形 ABCD 中,AE=1,AF=2,若 P 为对角线 BD 上一动点,则 EP+FP 的最小值为( ).
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
分析:找出当EP+FP 为最小值时点P的位置,再求值。
例4.如图4,MN 是半径为 1 的⊙O 的直径,点 A 在⊙O 上,∠AMN=30°,点 B 为劣弧 AN 的中点,点P是直径MN上一动点,则PA+PB的最小值为( ) A B 1 C 2 D 2