必修一《第二章 函数 5 简单的幂函数 阅读材料 函数概念的发展——从解析式到对应关系》优秀教案

必修一《第二章 函数 5 简单的幂函数 阅读材料 函数概念的发展——从解析式到对应关系》优秀教案

让学生直观欣赏优美的函数图像，感受数学的应用价值和数学美。

教学重点：了解函数的发展概况、函数概念的起源、函数定义的发展

教学难点：函数概念的发展，符号“y=f(x)”的含义

教学过程：

阅读引言

函数概念是全部数学概念中最重要的概念之一，纵观300年来函数概念的发展，众多数学家从集合、代数、直至对应、集合的角度不断赋予函数概念以新的思想，从而推动了整个数学的发展。经过对函数概念的学习，我们已经知道，高中阶段的函数定义与实践的定义方式有所不同，这是不是说， ，高中函数定义是对初中函数定义的否定呢？函数定义的发展在历史上到底经历了什么？从函数定义的发展历史，我们又可以得到些什么样的思考呢？读完今天的阅读材料，写写你们的思考，说说你们的感受吧。

阅读与思考

函数发展概况

“function”一词从1673年首次被德国哲学家兼数学家莱布尼兹（Liebniz，1646--1716）在手稿中使用起，到现在经历了三百多年的历程，概括来说有三种定义观点，这是贯穿其发展的一根红线[1]。“变量说”是函数发展的起点，“对应说”提示了函数的实质——对应关系，“关系说”有效解决了函数“数集”的局限性。在“变量说”观点占统治地位的将近二百年的时间里，数学家们又有着许多不同的定义表达方式，其中就有“变量对应说”的定义方式，这种方式与现代“集合对应说”的观点已经很接近了，但是这并不能战胜“变量解析式”和“变量依赖关系”的定义方式，而没有很快得到推广，然而“集合对应说”定义使用时间才仅仅30年左右的时间，就产生了“集合关系说”欧拉（L.Euler，1707--1783）在 1734年引入函数符号，清代数学家李善兰（1811-1882）在1859年和英国传教士伟烈亚力合译的《代微积拾级》中把“function”译做“函数”，“函数”一词进入中国。杜石然认为函数概念的发展经历了六次扩张[2]，那么是什么力量推动着函数定义的发展的呢？“函数”这个中文译名又有什么样的故事呢？了解函数定义的发展对我们学习函数概念乃至数学有什么帮助吗？

2、函数概念的起源

在函数概念产生前，早在公元前300年左右，古巴比伦人就已经开始制作平方根表、倒数表、天文表时，就运用到数和数之间的依赖关系了，他们研究的对象是孤立的数，这在数学上叫离散的数值。而古希腊数学家托勒密则在更大的范围内研究连续的数值的问题，他不仅把这些数值用于制作各种数表，还用于研究圆心角所对弦长、还通过经度来测量太阳的纬度。函数概念的起源与对动点轨迹的研究密不可分的。在函数概念尚未明确提出以前，数学家已经接触并研究了不少具体的函数，比如对数函数、三角函数、双曲函数等等，不过在当时，这些函数是被当作一些具体的曲线来研究的。14 世纪，法国数学家奥莱斯姆（Oresme，1323-1382）运用曲线表示速度与时间的关系。16 世纪，由于对物体运动的研究，人们开始转入对各种变化过程和各种变化着的量之间的依赖关系的研究。

3、定义的变量说

莱布尼茨1673年在《反切线或函数方法》中，创用“functio”（英文function）一词来表示具有特殊作用的某个几何量，如一个图形中的线段。1694年，莱布尼茨在《博学者杂志》上发表“微分新法”，文中进一步用“functio”来表示与曲线相关的几何量——横坐标、纵坐标、切线长、次切线长等。正是这些几何量与相应点的横坐标之间的关系导致“函数”演变成了“幂”，并进而演变为解析式。由此可以看出，函数一词最初的数学含义是相当广泛而较为模糊的，几乎与此同时，牛顿在微积分的讨论中,使用另一名词“流量”来表示变量间的关系。

1718年，约翰·贝努利(BernoulliJohann，瑞士，1667－1748)在莱布尼兹函数概念的基础上，将 的函数从拓广到用代数符号来表达与 的所有量，对函数概念进行了明确定义：“一个变量的函数是由该变量和一些常数以任何方式组成的量。其在函数概念中所说的任一形式,包括代数式子和超越式子.

1748 年，在约翰·贝努利的基础上，欧拉在《无穷分析引论》中首次用非常形象的,一直沿用至今的“解析式”来定义函数：“一个变量的的函数是由该变量和一些常量以任何方式组成的解析式。它是通过算数运算，三角运算以及指数运算和对数运算连接变量和常量的分子。因此，如果在每一个解析式中，除了以外，其他所有的量均为常量 ，则该解析式就是的一个函数。例如

等等，都是Z的函数。”

欧拉用“解析式”代替了约翰·贝努利提出的“任意一种方式”，更明确地表达了变量之间的相互依赖、相互依存的变化关系，他把约翰·贝努利给出的函数定义称为解析函数,并进一步把它区分为代数函数（只有自变量间的代数运算）和超越函数（三角函数、对数函数以及变量的无理数幂所表示的函数）,还考虑了“随意函数”（表示任意画出曲线的函数），不难看出，欧拉给出的函数定义比约翰·贝努利的定义更普遍、更具有广泛意义。但是，1755 年欧拉在《微分学原理》又更新了函数的定义：“如果某些变量依赖于另一些量，当后面这些量变化时，前面这些变量也随之变化，则前面的量称为后面的量的函数。因此，若x表示变量，其他所有以任意方式依赖于x或由x确定的量均称为x的函数。例如，，或x的其他任意次幂，或由这些幂以任意方式组成的量，甚至是超越量，一般地，随的增减而变化的任意量，都是的函数。”在这个定义中，变量的联系更加紧密，且自变量和因变量的概念也隐含其中，函数的表达上并不拘于用解析式来表达，破除了用公式表达函数的局限性。该定义适用范围很广，包含了 一个量由其他量确定的所有方式。

但是函数是某种对应关系，仍没有明确。欧拉的“解析式”和“依赖关系”定义对后世产生了深远的影响，直到19世纪中叶，它们一直是函数定义的蓝本。为了突破变量依赖说的限制，在 18 世纪后半叶对振动问题的讨论中，欧拉和拉格朗日允许函数在不同区域上有不同的表达式，傅里叶展开式把一个“不连续”的曲线用一个表达式表示。 1797年， 法国数学家拉克洛瓦 （S. F. Lacroix, 1765～1843）提出，“若一个量的值依赖于另一个或几个量，则前一个量称为后一个或几个量的函数，无论我们知不知道后一个或几个量是通过什么运算得到前一个量的”，这个定义明确说明函数可以不通过解析式来表示，但受欧拉定义的影响，百科全书数学辞条以及微积分、代数学的作者们在近半个世纪的时间里依然固守着“解析式”定义。

1821年，法国数学家柯西(Cauchy， 1789-1857)给出了如下的定义：“当变量之间以这样的方式相关联，即给定其中一个变量的值，就可以确定所有其他变量的值，人们通常想像各个量是用其中一个来表示的，此时，这个量称为自变量；而用自变量来表示的其他量就称为该变量的函数”。 这个定义把函数概念与曲线、连续、解析式等纠缠不清的关系给予了澄清，也避免了数学意义欠严格的“变化”一词，但对于函数概念的本质——对应思想强调不够，他仍然说“用自变量表示的其他量称为自变量的函数”。 1822年傅里叶(Fourier,法,1768－1830)发现某些函数可用曲线表示,也可用一个式子表示,或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，他在《热的解析理论》给出如下定义：“函数代表一系列的值或纵坐标，它们中的每一个都是任意的。对于无限多个给定的横坐标的值，有同样多个纵坐标的值。……无需假设这些纵坐标满足同一个法则；它们可以任何方式彼此接续，每一个都好像是单个的量”。这个定义完全摆脱了欧拉定义的束缚，已十分接近现代定义了，把对函数的认识又推进了一个新的层次。

1837年，德国数学家狄利克雷（Dirichlet Peter Gustav Lejeune，1805～1859）认为怎样去建立与之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“设是两个确定的值，是可取之间一切值的变量。如果对于每一个，有惟一有限的值与它对应，使得当从到连续变化时，也逐渐变化，那就称为该区间上的一个连续函数。在整个区间上，无需按照同一规律依赖于，也无需单单考虑能用数学运算来表示的关系。”狄利克雷的函数定义，出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，简明精确，以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受。至此，我们已可以说，函数概念、函数的本质定义已经形成，这就是人们常说的经典函数定义。这个定义明确给出了自变量的取值范围，把变量之间的关系描述为对应变化的关系，并且说明了对应法则可以不是同一种规律，也可以不用数学运算表示，如果去掉“连续”的条件，该定义与今天的定义并无二致。他的一个非常典型的例子就是我们熟悉的狄利克雷函数：

在这个函数中,如果由0逐渐增大地取值，则忽0忽1。在无论怎样小的区间里，D(x)无限止地忽0忽1．因此，它很难用一个或几个式子来加以表示，甚至究竟能否找出表达式也是一个问题。但是不管其能否用表达式表示，在狄利克雷的定义下，这个D(x)仍是一个函数。

1847年，斯托克斯明确修正了欧拉的定义：“函数是这样一个量，它的值以任意方式依赖于构成它的一个或几个变量的值。因此，函数不必通过任何代数符号的组合来表达，甚至在变量的很近的界限之间也是如此。”

到了1851年，黎曼（Riemann，1826-1866）给出了一个较为精确的定义：“若对的每一个值，有完全确定的值与之对应，不管建立起这种关系的方式如何，都称是的函数”。这个定义彻底抛弃了解析式的束缚，特别强调和突出函数概念的本质——对应思想，使之具有更加丰富的内涵。这个定义和狄利克雷的定义被公认为函数的现代定义。这两个定义在相当长时间内同样没有对旧定义产生冲击。

1847年，斯托克斯明确修正了欧拉的定义：“函数是这样一个量，它的值以任意方式依赖于构成它的一个或几个变量的值。因此，函数不必通过任何代数符号的组合来表达，甚至在变量的很近的界限之间也是如此。”

到了1851年，黎曼（Riemann，1826-1866）给出了一个较为精确的定义：“若对的每一个值，有完全确定的值与之对应，不管建立起这种关系的方式如何，都称是的函数”。这个定义彻底抛弃了解析式的束缚，特别强调和突出函数概念的本质——对应思想，使之具有更加丰富的内涵。这个定义和狄利克雷的定义被公认为函数的现代定义。这两个定义在相当长时间内同样没有对旧定义产生冲击。终于，函数的变量对应定义方式——揭示了函数本质的定义方式总算是有了明确的说法。从1797年函数的定义“变量对应说”的提出，到1851年函数的定义“变量对应说”发展到精确，经历了半个多世纪的时间，众多数学家的孜孜不倦的努力，然而这期间以及后来的相当长时间里，欧拉的“解析式”定义和“依赖关系”定义依然占着统治地位。可见，任何一种新的观念要完全为人授受有多么不容易。