北师大版必修四数学《第二章 平面向量 5 从力做的功到向量的数量积 习题2—5》优秀教学设计

北师大版必修四数学《第二章 平面向量 5 从力做的功到向量的数量积 习题2—5》优秀教学设计

本节内容教材共安排两课时，其中第一课时主要研究数量积的概念、几何意义、性质和运算律；第二课时主要研究数量积的坐标运算，本节课是第一课时。

本节课首先通过一段“大力士”拉汽车的精彩视频抽象出物理中“功”的事例，之后抛开物理背景，将 , 这两个物理中的矢量，推广到数学中一般的非零向量 ， ，从而得到数学中平面向量数量积的概念，体现了有特殊到一般的数学思想，同时培养学生的抽象概括能力；然后从“形”的角度引入“投影”探究数量积的几何意义，使学生加深对数量积概念的理解，同时体现了数形结合的数学思想；“数量积”和“投影”均为数量，对其正、负、零的讨论过程，体现了分类讨论的数学思想；然后又通过类比实数乘法的运算律研究了数量积的运算律，体现“类比”的数学思想。

本节课是在学生系统的学习了向量的概念和向量的加法、减法、数乘等线性运算的基础上，探索向量的又一种新的运算，它既是前面所学知识和方法的延续，又是后继学习解三角形、解析几何以及空间向量等内容的基础，因此本节内容起到了承上启下的作用。平面向量数量积是一个很重要的数学概念，它是从物理中功的概念抽象而来的，是沟通代数、几何、三角的桥梁，是数形结合方法的典范。这些都使得数量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点。

二、目标与目标解析

1．目标

（1）了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；

（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的运算和判断；

（3）体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。

2．目标分析

《普通高中数学课程标准》 对本节课的要求有以下三条：

（1）通过物理中“功”等事例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。

（2）体会平面向量的数量积与向量投影的关系。

（3）能用运数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

从以上的背景分析可以看出，数量积的概念既是本节课的重点，也是难点。为了突破这一难点，首先无论是在概念的引入还是应用过程中，物理中“功”的实例都发挥了重要作用。其次，作为数量积概念延伸的性质和运算律，不仅能够使学生更加全面深刻地理解概念，同时也是进行相关计算和判断的理论依据。最后，无论是数量积的性质还是运算律，都希望学生在类比的基础上，通过主动探究来发现，因而对培养学生的抽象概括能力、推理论证能力和类比思想都无疑是很好的载体。

三、教学问题诊断分析

学生在这之前的物理课已经认识了矢量和功，数学课系统地学习了向量定义、向量的线性运算，具备了一定能力去进行深入的研究。功的计算为平面向量数量积引入提供很好的背景，但对两个有形有数的向量经过数量积运算后，形却消失了成为一个数，学生对这一点是较难接受的。由于受实数乘法运算的影响，也会造成学生对数量积、性质和运算律的理解上的偏差。从学生认知水平来看，学生的探究能力和用数学语言交流的能力还有待提高，本节课还要初步体会研究向量运算的一般方法；即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再从概念出发，在与实数运算类比的基础上研究性质和运算律及运用，这种知识的整合提升对学生来说恰又是比较困难的。因而本节课教学的难点是：平面向量的数量积的定义及运算律的理解，平面向量数量积的应用。

四、教学支持条件分析

根据本节课教材内容的要求，为了直观、形象地突出重点，突破难点，利用视频、动态演示，展示平面向量数量积的物理背景，探究性质、几何意义以及运算律。

五、教学过程分析

（一）知识链接

1．已经学习了哪几种向量运算？

向量运算 数学符号 运算结果 2．两个非零向量 与 的夹角 如何定义？其取值范围是多少？

【设计意图】通过知识链接的问题让学生复习回顾向量运算，两个非零向量 与 的夹角 ，为平面向量数量积的学习奠定基础。

（二）创设情境

多媒体播放中国大力士公开赛，中国选手的参赛视频，之后动态演示他的比赛过程，从中抽象出数量积的物理背景。