北师大版选修1-1《第二章 圆锥曲线与方程 2 抛物线 习题2—2》优秀教案设计

北师大版选修1-1《第二章 圆锥曲线与方程 2 抛物线 习题2—2》优秀教案设计

2．已知P是抛物线y=2x2＋1上的动点，定点A（0，―1），

点M分 所成的比为2，则点M的轨迹方程是（ ）

A、y=6x2― 　B、x=6y2－ 　C、y=3x2＋ 　D、y=―3x2―1

3．一动圆Ｍ和直线 相切，并且经过点 ，则

圆心Ｍ的轨迹方程是 ．

二、例题讲解

例1　如图，抛物线 的弦 交x轴于点Q，过 、 分别作x轴的垂线，垂足为M、N，求证

是 和 的比例中项．

分析 要证明 是 和 的比例中项，就是要证明 ，而 、 和 分别是点 、 和Ｑ的横坐标．因此，证明这个等式的关键是求这三点的横坐标的关系式．

证明：设点 、 的坐标分别为 、 ，则直线 的方程为

　　　　　　　　　　　①

由于点Ｑ是直线 和x轴的交点，令y＝０得点Ｑ的横坐标为

　　 ．

点 和 分别在x轴的上方和下方，不妨设点 在x轴的上方，点 在x轴的下方，则

， ．

代入①，得 ＝ ，

所以 即证得 是 和 的比例中项．

点评 抛物线 上的点常可设成 或 的形式，这样易通过坐标解题．

例2　已知抛物线y2=4ax(a＞0)的焦点为A，以B（a＋4，0）为圆心，|AB|长为半径画圆，在x轴上方交抛物线于M、N不同的两点，若P为MN的中点．

（1）求a的取值范围；

（2）求|AM|＋|AN|的值；

（3）问是否存在这样的a值，使|AM|、|AP|、|AN|成等差数列？

分析 由圆与抛物线相交，得圆的方程与抛物线的方程组成的方程组有实数解，从而求a的取值范围．|AM|、|AN|是抛物线上两点M、N与其焦点A的连线段的长，即为两点M、N的焦半径，从而用抛物线的焦半径公式求解（2），（3）两小题．

点评 （1）根据定义解题，能化难为易；（2）巧用平面几何和三角知识解题，能简化运算过程，简约思维过程．

三、当堂反馈