北师大版数学选修2-1《第二章 空间向量与立体几何 3 向量的坐标表示和空间向量基本定理 3.2空间向量基本定理》优质课教案

北师大版数学选修2-1《第二章 空间向量与立体几何 3 向量的坐标表示和空间向量基本定理 3.2空间向量基本定理》优质课教案

二、教学难点：空间向量的分解作图，用不同的基底表示空间任一向量。灵活运用空间向量基本定理证明空间直线的平行、共面问题。

三、教学重点： 运用空间向量基本定理表示空间任一向量，并能根据表达式判断向量与基底的关系。

四、教学手段：在多媒体和实物模型的环境下，学生分组自主与合作学习相结合，老师引导、参与学生活动和讨论的民主式的教学。

五、教学过程

1．引入：对比平面向量的基本定理，生活实际需要向三维空间发展（播放美伊战争画面，地面的坦克如何瞄准空中的飞机画面），推广到空间向量的基本定理。

用向量来描述：若空间三个向量不共面，那么空间的任一向量都可以用这三个向量表示。我们研究一下怎么表示。

（提示学生思考平面的任一向量怎么用平面向量的基底表示）

学生： 、 是平面内两个不共线的向量，则该平面内的任一向量 都可以表示为 =λ1 +λ2 ，其中λ1、λ2是一对唯一的实数。

2．推广:请学生猜测推广到空间向量的基本定理如何？

学生：空间向量的基本定理：如果空间三个向量 、 、 不共面，则空间的任一向量 都可表示为x +y +z 。

师：若猜想正确，则给出证明，若猜想不正确，先给出定理，再证明。

老师板演证明：设空间三个不共面的向量 = ，

= ， = ， = 是空间任一向量，过P

作PD∥OC交平面OAB于D，则 = + ，

由空间两直线平行的充要条件知 = z ，由平面

向量的基本定理知向量 与 、 共面，

则 = x +y ，所以，存在x,y,z使得 =

x +y + z 。这样的实数x,y,z是否唯一呢？

用反证法证明：若另有不同于x,y,z的实数x1,y1,z1满足 = x1 +y1 + z1 ，则x +y + z = x1 +y1 + z1 ，即(x－x1) +(y－y1) +(z－z1) =

又 、 、 不共面，则x－x1=0，y－y1=0，z－z1=0，所以x,y,z是唯一的实数。

这样，就把平面向量的基本定理推广到空间向量的基本定理。

老师介绍相关概念：

其中{ 、 、 }叫做空间向量的一个基底， 、 、 都叫做基向量。

师：对于空间向量的基底{ 、 、 }的理解，要明确：

①空间任意不共面的三个向量都可以作为向量的基底，基底不唯一；