选修2-2《第一章 推理与证明 3 反证法 习题1—3》优秀教案

选修2-2《第一章 推理与证明 3 反证法 习题1—3》优秀教案

4.教学难点：反证法的应用，但是对证明的技巧性不宜作过高的要求.

二、反证法的理论依据与教育意义

法国数学家阿达玛曾说过：“反证法的证法在于表明，若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾.”这是对反证法精辟的概括.反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”.在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”.反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假.再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真，所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的.反证过程中的批判思想更有助于学生正确的认识客观世界.在教学过程中，我们要重视培养学生利用反证法对客观世界的认识提出自己的问题，这正是反证法教学所要教给学生的，应该具有的数学能力，也是培养学生数学素质与数学素养的很好教学机会

.三、教学设计

引入部分：

路边苦李 ：古时候有个人叫王戎，7岁那年的某一天和小伙伴在路边玩，看见一棵李子树上的果实多得把树枝都快压断了，小伙伴们都跑去摘，只有王戎站着没动.他说：“李子是苦的,我不吃.”小伙伴摘来一尝，李子果然苦的没法吃.小伙伴问王戎:“这就怪了!你又没有吃,怎么知道李子是苦的啊?”王戎说:“如果李子是甜的,树长在路边,李子早就没了！李子现在还那么多,所以啊,肯定李子是苦的，不好吃!”

例1 证明：在 中，若∠C是直角，则∠B一定是锐角.

问题的提出应用了学生比较熟悉又可列举的三角形环境，学生比较容易想到用验证的方法先进行结论的检验，并且在验证的过程中体会三角形内角和，从而寻找一般的并且严谨的证明方式。易于学生思考，同时也很好的激发了学生学习的动机和兴趣.同时严谨的证明对反证法定义的形成提供了强有力的思想支持，学生对一般的证明模式自然易于接受.

一般地，由证明转向证明，与假设矛盾，或者与某个真命题矛盾.从而判断为假，推出为真的方法，叫做反证法.

2.用例题介绍反证法的思想和证明方法：

本节课共设计了四道例题，练习与习题中共4道训练题.

例1：求证是无理数.

本题是借助有理数的分数表示来处理，有助于加深学生对有理数的认识，思维上也有较高的要求，有利于发散学生思维，同时也和初中数学知识建立了联系，有利于学生建立知识体系，完善思维.本例设计的非常合理.同时在练习A中设计了第2题、练习B中设计了第2题，起到前后呼应、巩固加强理解和应用反证法的效果，同时体现了反证法对“原始”数学概念、公式、定理证明的作用.这一点在必修2立体几何的证明中就有过明显的体现.例如课本42页“直线与平面平行”的定义解释用了反证法的思想；再例课本50页例1：“过一点和已知平面垂直的直线只有一条”的证明就用了反证法；再例课本51页例3的证明显然也是反证法.对于以上几个例子中出现的命题往往是大家易于接受的概念、公式、定理等，对于这些能容易接受的内容的证明，反证法常常是首先考虑的，充分体现了我们数学学科的严谨性.

例1和例2是反证法应用中的经典问题，其所蕴含的数学智慧巧妙而不生僻、简洁而不单一，能很好的体现反证法的逻辑思维顺序，但须值得注意的是，例1，例2的分析，学生并不容易自己发现思路，需要老师的引导，这样学生只是在老师的带领下经历了反证法的证题过程，让学生自己分析问题，经历问题的发展过程更不可能，所以建议调整为学生容易分析的题目：

这样的题目易于操作，证明思路清楚，学生容易分析，更能够达到对反证法概念的理解，对证明模式的体会，从而对证明的一般总结才会有亲身经历后的理解.

反证法的证题模式可以简要的概括为“否定→推理→否定”.即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”.应用反证法证明的主要步骤是：否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立.实施的具体步骤是：

第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；

第二步，归谬：将反设作为条件，运用演绎推理，导出矛盾；

第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立.

反证法中的“矛盾”主要是指：

（1）与假设矛盾；

（2）与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾；

（3）与公认的简单事实矛盾.

有了一般思想方法的总结，下面例题的分析学生应该有想法了.

该例题与前面学习的数列联系密切，思维上也比较好入题，既照顾了本节课的主题反证法，又联系了数列，回扣了旧知，有利于学生思维的养成，属学生易接受的类型，同时也体现了反证法在否定性命题证明中的优势，实际上反证法对唯一性问题、无限性问题、至少与至多问题（如例2）、否定的结论等的证明常常体现得比较给力.