北师大版选修4-4 坐标系与参数方程数学《第一章 坐标系 1 平面直角坐标系 平面直角坐标系》优秀教学设计

北师大版选修4-4 坐标系与参数方程数学《第一章 坐标系 1 平面直角坐标系 平面直角坐标系》优秀教学设计

教学难点：会运用坐标法解决实际问题与几何问题．

教学过程：

例题讲解：

例1　线段AB的两个端点分别在两条互相垂直的直线上滑动，且|AB|＝4，求AB中点P的轨迹方程．

分析：题目未给出坐标系，因此，应先建立适当的坐标系，显然以互相垂直的两直线分别为x轴，y轴最合适．

解析：解法一　以两条互相垂直的直线分别为x轴，y轴，建立直角坐标系，如图所示．

点评：1．求曲线方程一般有下列五个步骤：

(1)建立适当的直角坐标系，并用(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标，在建立坐标系时，应充分考虑平行、垂直、对称等几何因素，使得解题更加简化；

(2)写出适当条件P下的点M的集合：{M|P(M)}；

(3)用坐标表示条件P(M)，写出方程f(x，y)＝0；

(4)化简方程f(x，y)＝0(必须是等价变形)；

(5)证明以(4)中方程的解为坐标的点都在曲线上，补上遗漏点或挖去多余点．

一般地，方程的变形过程是等价的，步骤(5)可以省略．

2．求曲线方程主要有以下几种方法：

(1)条件直译法：如果动点运动的规律就是一些几何量的等量关系，这些条件简单、明确，易于表达，我们可以把这些关系直译成含“x，y”(或ρ、θ)的等式，我们称之为“直译”．

(2)代入法(或利用相关点法)：有时动点所满足的几何条件不易求出，但它随另一动点的运动而运动，称之为相关点．如果相关点满足的条件简单、明确，就可以用动点坐标把相关点的坐标表示出来，再用条件直译法把相关点的轨迹表示出来，就得到原动点的轨迹．

(3)参数法：有时很难直接找出动点的横、纵坐标之间的关系，如果借助中间参量(参数)，使x、y之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，这样便可得动点的轨迹方程．

(4)定义法：若动点满足已知曲线的定义，可先设方程再确定其中的基本量．

3．在掌握求曲线轨迹方程的一般步骤的基础上还要注意：

(1)选择适当的坐标系，坐标系如果选择恰当，可使解题过程简化，减少计算量．

(2)要注意给出曲线图形的范围，要在限定范围的基础上求曲线方程．如果只求出曲线的方程，而没有根据题目要求确定出x、y的取值范围，最后的结论是不完备的．

(3)坐标系建立不同，同一曲线的方程也不相同．

变式训练：1．已知线段AB长4，则以AB为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是________．

答案：x2＋y2＝4(x≠±2)