选修4-4 坐标系与参数方程数学《第二章 参数方程 本章小结建议》精品课教案

选修4-4 坐标系与参数方程数学《第二章 参数方程 本章小结建议》精品课教案

2.在阅读教材的基础上，已知直线 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcos α，,y＝y0＋tsin α)) (t为参数)与曲线y＝f(x)交于M1，M2两点，对应的参数分别为t1，t2.

求：(1)曲线的弦M1M2的长是多少？

(2)线段M1M2的中点M对应的参数t的值是多少？

答案　(1)弦M1M2的长|M1M2|＝|t1－t2|.

(2)线段M1M2的中点M对应的参数t＝ eq \f(t1＋t2,2) .

[预习导引]

1.直线的参数方程

过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcos α，,y＝y0＋tsin α)) (t为参数) .

2.参数的几何意义

直线的参数方程中参数t的几何意义是：参数t的绝对值表示参数t对应的点到定点M0(x0，y0)的距离.当 eq \o(M0M,\s\up6(→)) 与e(直线的单位方向向量)同向时，t取正数；当 eq \o(M0M,\s\up6(→)) 与e反向时，t取负数；当点M与点M0重合时，t为零.

要点一　直线参数方程的标准形式

例1　 已知直线l： eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－\r(3)＋\f(\r(3),2)t，,y＝2＋\f(1,2)t)) (t为参数).

(1)分别求t＝0,2，－2时对应的点M(x，y)；

(2)求直线l的倾斜角；

(3)求直线l上的点M(－3 eq \r(3) ，0)对应的参数t，并说明t的几何意义.

解　(1)由直线l： eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－\r(3)＋\f(\r(3),2)t，,y＝2＋\f(1,2)t)) (t为参数)知当t＝0,2，－2时，

分别对应直线l上的点(－ eq \r(3) ，2)，(0,3)，(－2 eq \r(3) ，1).

(2)方法一　化直线l： eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－\r(3)＋\f(\r(3),2)t，,y＝2＋\f(1,2)t)) (t为参数)为普通方程为y－2＝ eq \f(\r(3),3) (x＋ eq \r(3) )，其中k＝tan α＝ eq \f(\r(3),3) ，0≤α<π.

∴直线l的倾斜角α＝ eq \f(π,6) .

方法二　由于直线l： eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－\r(3)＋tcos\f(π,6)，,y＝2＋tsin\f(π,6))) (t为参数)，

这是过点M0(－ eq \r(3) ，2)，且倾斜角α＝ eq \f(π,6) 的直线，

故 eq \f(π,6) 为所求.

(3)由上述可知直线l的单位方向向量

e＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,6)，sin\f(π,6))) ＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2))) .

∵M0(－ eq \r(3) ，2)，M(－3 eq \r(3) ，0)，